Question

（2013•哈爾濱）如圖，在平面直角坐標系中，點O為坐標原點，A點的坐標為（3，0），以OA為邊作等邊三角形OAB，點B在第一象限，過點B作AB的垂線交x軸于點C，動點P從O點出發(fā)沿OC向C點運動，動點Q從B點出發(fā)沿BA向A點運動，P，Q兩點同時出發(fā)速度均為1個單位/秒，設運動時間為t秒．
（1）求線段BC的長；
（2）連接PQ交線段OB于點E．過點E作x軸的平行線交線段BC于點F．設線段EF的長為m，求m與t之間的函數(shù)關(guān)系式，并直接寫出自變量t的取值范圍；
（3）在（2）的條件下，將△BEF繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)得到△BE′F′，使點E的對應點E′落在線段AB上，點F的對應點是F′，E′F′交x軸于點G，連接PE，QG，當t為何值時，2BQ-PF=

3

3

QG？

Answer 1

分析：（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得出∠ABC=90°，進而得出CO=OB=AB=OA=3，以及AC=6，求出BC即可；
（2）過點Q作QN∥OB交x軸于點N，得出△AQN為等邊三角形，由OE∥QN，得出△POE∽△PNQ，以及

OE

QN

=

PO

PN

，表示出OE的長，利用m=BE=OB-OE求出即可；
（3）首先得出△AE′C為等邊三角形，進而得出∠QGA=90°，由EF∥OC，得出

BF

BC

=

BE

BO

，再得出△FCP∽△BCA，利用2BQ-PF=

3

3

QG求出t的值即可．

解答：解：（1）如圖1，∵△AOB為等邊三角形，
∴∠BAC=∠AOB=60°，
∵BC⊥AB，
∴∠ABC=90°，
∴∠ACB=30°，∠OBC=30°，
∴∠ACB=∠OBC，
∴CO=OB=AB=OA=3，
∴AC=6，
∴BC=ACcos30°=

3

2

AC=3

3

；

（2）如圖1，過點Q作QN∥OB交x軸于點N，
∴∠QNA=∠BOA=60°=∠QAN，
∴QN=QA，
∴△AQN為等邊三角形，
∴NQ=NA=AQ=3-t，
∴ON=3-（3-t）=t，
∴PN=t+t=2t，
∵OE∥QN，
∴△POE∽△PNQ，
∴

OE

QN

=

PO

PN

，
∴

OE

3-t

=

1

2

，
∴OE=

3

2

-

1

2

t，
∵EF∥x軸，
∴∠BFE=∠BCO=∠FBE=30°，
∴EF=BE，
∴m=BE=OB-OE=

1

2

t+

3

2

（0＜t＜3）；


（3）如備用圖：
∵∠BE′F′=∠BEF=180°-∠EBF-∠EFB=120°，
∴∠AE′G=60°=∠E′AC，
∴GE′=GA，
∴△AE′G為等邊三角形，
∵Q′E=BE′-BQ=m-t=

1

2

t+

3

2

-t=

3

2

-

t

2

∴GE′=GA=AE′=AB-BE′=

3

2

-

1

2

t=QE′，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
∵∠1+∠2+∠3+∠4=180°，
∴∠2+∠3=90°，
即∠QGA=90°，
∴QG=

3

AG=

3

2

3

-

1

2

3

t，
∵EF∥OC，
∴

BF

BC

=

BE

BO

，
∴

BF

3 3

=

m

3

，
∴BF=

3

m=

3

2

t+

3 3

2

，
∵CF=BC-BF=

3

2

3

-

1

2

3

t，CP=CO-OP=3-t，
∴

CF

CB

=

3 2 3 - 1 2 3 t

3 3

=

3-t

6

=

CP

CA

∵∠FCP=∠BCA，
∴△FCP∽△BCA，
∴

PF

AB

=

CP

CA

，
∴PF=

3-t

2

，
∵2BQ-PF=

3

3

QG，
∴2t-

3-t

2

=

3

3

×（

3 3

2

-

1

2

3

t）
解得：t=1，
∴當t=1時，2BQ-PF=

3

3

QG．

點評：此題主要考查了相似三角形的綜合應用以及等邊三角形的性質(zhì)等知識，根據(jù)數(shù)形結(jié)合得出△FCP∽△BCA是解題關(guān)鍵．