Question

（2012•樂山）如圖，直線y=2x+2與y軸交于A點(diǎn)，與反比例函數(shù)y=

k

x

（x＞0）的圖象交于點(diǎn)M，過M作MH⊥x軸于點(diǎn)H，且tan∠AHO=2．
（1）求k的值；
（2）點(diǎn)N（a，1）是反比例函數(shù)y=

k

x

（x＞0）圖象上的點(diǎn)，在x軸上是否存在點(diǎn)P，使得PM+PN最��？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)直線解析式求A點(diǎn)坐標(biāo)，得OA的長(zhǎng)度；根據(jù)三角函數(shù)定義可求OH的長(zhǎng)度，得點(diǎn)M的橫坐標(biāo)；根據(jù)點(diǎn)M在直線上可求點(diǎn)M的坐標(biāo)．從而可求K的值；
（2）根據(jù)反比例函數(shù)解析式可求N點(diǎn)坐標(biāo)；作點(diǎn)N關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)N₁，連接MN1與x軸的交點(diǎn)就是滿足條件的P點(diǎn)位置．

解答：解：
（1）由y=2x+2可知A（0，2），即OA=2．…（1分）
∵tan∠AHO=2，∴OH=1．…（2分）
∵M(jìn)H⊥x軸，∴點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為1．
∵點(diǎn)M在直線y=2x+2上，

∴點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為4．即M（1，4）．…（3分）
∵點(diǎn)M在y=

k

x

上，
∴k=1×4=4．…（4分）
（2）存在．
過點(diǎn)N作N關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)N₁，連接MN₁，交x軸于P（如圖所示）．此時(shí)PM+PN最小．
∵點(diǎn)N（a，1）在反比例函數(shù)y=

4

x

（x＞0）上，
∴a=4．即點(diǎn)N的坐標(biāo)為（4，1）．…（5分）
∵N與N₁關(guān)于x軸的對(duì)稱，N點(diǎn)坐標(biāo)為（4，1），
∴N₁的坐標(biāo)為（4，-1）．…（7分）
設(shè)直線MN₁的解析式為y=kx+b．
由

4=k+b -1=4k+b.

解得k=-

5

3

，b=

17

3

．…（9分）
∴直線MN₁的解析式為y=-

5

3

x+

17

3

．
令y=0，得x=

17

5

．
∴P點(diǎn)坐標(biāo)為（

17

5

，0）．…（10分）

點(diǎn)評(píng)：此題考查一次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及線路最短問題，難度中等．