Question

（2009•孝感）如圖，點P是雙曲線（k₁＜0，x＜0）上一動點，過點P作x軸、y軸的垂線，分別交x軸、y軸于A、B兩點，交雙曲線y=（0＜k₂＜|k₁|）于E、F兩點．
（1）圖1中，四邊形PEOF的面積S₁=______（用含k₁、k₂的式子表示）；
（2）圖2中，設P點坐標為（-4，3）．
①判斷EF與AB的位置關系，并證明你的結論；
②記S₂=S_△PEF-S_△OEF，S₂是否有最小值？若有，求出其最小值；若沒有，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由反比例函數的圖形和性質可知：四邊形OAPB面積為K₁，△OAE與△OBF面積之和為K₂，可求四邊形PEOF的面積；
（2）①根據題意，易寫點A、B、E、F坐標，可求線段PA、PE、PB、PF的長，發(fā)現PA：PE=PB：PF，又∠APB=∠EPF，依據相似三角形判定，可得△APB∽△EPF，∠PAB=∠PEF，從而得出EF與AB的位置關系．
②如果過E作EM⊥y軸于點M，過F作FN⊥x軸于點N，兩線交于點Q．由S_△EFQ=S_△PEF，可得出S₂的表達式，然后根據自變量的取值范圍得出結果．
解答：解：（1）四邊形PEOF的面積S₁=四邊形PAOB的面積+三角形OAE的面積+三角形OBF的面積=|k₁|+k₂=k₂-k₁； （3分）

（2）①EF與AB的位置關系為平行，即EF∥AB．（4分）
證明：如圖，由題意可得：
A（-4，0），B（0，3），，，
∴PA=3，PE=，PB=4，PF=
∴，，
∴，（6分）
又∵∠APB=∠EPF，
∴△APB∽△EPF，
∴∠PAB=∠PEF，
∴EF∥AB；（7分）

②S₂沒有最小值，理由如下：
過E作EM⊥y軸于點M，過F作FN⊥x軸于點N，兩線交于點Q，
由上知M（0，），N（，0），Q（，）（8分）
而S_△EFQ=S_△PEF，
∴S₂=S_△PEF-S_△OEF=S_△EFQ-S_△OEF
=S_△EOM+S_△FON+S_矩形OMQN
=
=
=，（10分）
當k₂＞-6時，S₂的值隨k₂的增大而增大，而0＜k₂＜12，（11分）
∵k₂=12時S₂=24，
∴0＜S₂＜24，S₂沒有最小值．（12分）
故（1）的答案為：k₂-k₁
點評：此題難度較大，主要考查了反比例函數、二次函數的圖象性質及相似三角形判定．同學們要熟練掌握相似三角形的判定方法．