Question

【題目】如圖所示，在四邊形ABCD中，AD∥BC，AB=AD，∠BAD的平分線AE交BC于點(diǎn)E，連接DE．

（1）求證：四邊形ABED是菱形；

（2）若∠DEC=60°，CE=2DE=4cm，求CD的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）CD=2

【解析】整體分析：

（1）用SAS證明△BAE≌△DAE，判斷四邊形ABED的四邊都相等；（2）過點(diǎn)D作DF∥AE交BC于點(diǎn)F，判斷四邊形AEFD是平行四邊形，△DEF是等邊三角形，證明△EDC是直角三角形，用勾股定理求解.

（1）證明：如圖，∵AE平分∠BAD，∴∠1=∠2，

∵AB=AD，AE=AE，

∴△BAE≌△DAE，

∴BE=DE，

∵AD∥BC，∴∠2=∠3=∠1，∴AB=BE，

∴AB=BE=DE=AD，

∴四邊形ABED是菱形．

（2）解：如圖，過點(diǎn)D作DF∥AE交BC于點(diǎn)F，則四邊形AEFD是平行四邊形，

∴DF=AE，AD=EF，

∵四邊形ABED是菱形，

∴AB=BE=DE=AD，

∴DE=EF，

又∵∠ABC=60°，

∴∠DEF=60°，

∴△DEF是等邊三角形，

∵CE=2DE，∴EF=FC，

∴DF=EF=FC，

∴△CDE是直角三角形．

由勾股定理求得CD=2.