Question

【題目】如圖，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝1，點(diǎn)P在線段AB上運(yùn)動(dòng)，設(shè)AP＝，現(xiàn)將紙片折疊，使點(diǎn)D與點(diǎn)P重合，得折痕EF（點(diǎn)E、F為折痕與矩形邊的交點(diǎn)），再將紙片還原．

（1）當(dāng)＝0時(shí)，折痕EF的長(zhǎng)為　 　；當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)A重合時(shí)，折痕EF的長(zhǎng)為　　；

（2）請(qǐng)寫出使四邊形EPFD為菱形的的取值范圍，并求出當(dāng)＝2時(shí)菱形的邊長(zhǎng)；

（3）令EF2＝，當(dāng)點(diǎn)E在AD、點(diǎn)F在BC上時(shí)，寫出與的函數(shù)關(guān)系式．當(dāng)取最大值時(shí)，判斷△EAP與△PBF是否相似？若相似，求出的值；若不相似，請(qǐng)說明理由．溫馨提示：用草稿紙折折看，或許對(duì)你有所幫助哦！

Answer 1

【答案】（1）3；；（2）1≤≤3，時(shí)菱形邊長(zhǎng)為；（3）＝92+9；當(dāng)取最大值時(shí)△EAP∽△PBF，＝3﹣2．

【解析】

（1）當(dāng)＝0時(shí)，點(diǎn)A與點(diǎn)P重合，則折痕EF的長(zhǎng)等于矩形ABCD中的AB的長(zhǎng)；當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)A重合時(shí)，折痕是以AD為邊的正方形的角平分線，可求EF＝；

（2）由題意可知，要想使四邊形EPFD為菱形，則EF與DP互相垂直平分線段，所以點(diǎn)E必須要在線段AB上，點(diǎn)F必須在線段DC上，由此確定的取值范圍．再利用勾股定理確定菱形的邊長(zhǎng)；

（3）構(gòu)造直角三角形，利用相似三角形的對(duì)應(yīng)線段成比例確定的值，再利用二次函數(shù)的增減性確定的最大值．

（1）當(dāng)＝0時(shí)，折痕EF＝AB＝3；

當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)A重合時(shí)，折痕EF＝．

（2）1≤≤3．

當(dāng)＝2時(shí)，如圖1，連接DE、PF．

∵EF為折痕，

∴DE＝PE，

令PE為m，則AE＝2-m，DE＝m，

在Rt△ADE中，AD2+AE2＝DE2

∴1+(2-m)2＝m2，解得m＝；

此時(shí)菱形邊長(zhǎng)為．

（3）如圖2，過E作EH⊥BC；

∵△EFH∽△DPA，

∴，即

∴FH＝3x；

∴＝EF2＝FH2+EH2＝92+9；

當(dāng)F與點(diǎn)C重合時(shí)，如圖3，連接PF；

∵PF＝DF＝3，

∴PB＝，

∴0≤≤3-；

∵函數(shù)＝92+9的值在軸的右側(cè)隨的增大而增大，

∴當(dāng)＝3-時(shí)，有最大值，

此時(shí)∠EPF＝90°，△EAP∽△PBF．

綜上所述，當(dāng)取最大值時(shí)△EAP∽△PBF，＝3-．