Question

【題目】如圖，直線y＝x＋2與拋物線y＝ax2＋bx＋6(a≠0)相交于點(diǎn)A(， )，B(4，m)，點(diǎn)P是線段AB上異于A，B的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作PC⊥x軸于點(diǎn)D，交拋物線于點(diǎn)C.

(1)求拋物線的解析式；

(2)是否存在這樣的P點(diǎn)，使線段PC的長(zhǎng)有最大值？若存在，求出這個(gè)最大值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】（1）拋物線的解析式為y＝2x2－8x＋6；

（2）當(dāng)n＝時(shí)，線段PC最大為

【解析】試題分析：（1）已知B（4，m）在直線y=x+2上，可求得m的值，拋物線圖象上的A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)，可將其代入拋物線的解析式中，通過聯(lián)立方程組即可求得待定系數(shù)的值．（2）要弄清PC的長(zhǎng)，實(shí)際是直線AB與拋物線函數(shù)值的差．可設(shè)出P點(diǎn)橫坐標(biāo)，根據(jù)直線AB和拋物線的解析式表示出P、C的縱坐標(biāo)，進(jìn)而得到關(guān)于PC與P點(diǎn)橫坐標(biāo)的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)即可求出PC的最大值．

試題解析：(1)∵B(4，m)在直線y＝x＋2上，

∴m＝4＋2＝6，

∴B(4，6)，

∵A(， )，B(4，6)在拋物線y＝ax2＋bx＋6上，

∴

解得

∴拋物線的解析式為y＝2x2－8x＋6　

(2)設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(n，n＋2)，則C點(diǎn)的坐標(biāo)為(n，2n2－8n＋6)，

∴PC＝(n＋2)－(2n2－8n＋6)＝－2n2＋9n－4＝－2(n－)2＋，

∵PC＞0，

∴當(dāng)n＝時(shí)，線段PC最大為