Question

【題目】菱形ABCD的對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，AC=4 ，BD=4，動(dòng)點(diǎn)P在線段BD上從點(diǎn)B向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)，PF⊥AB于點(diǎn)F，四邊形PFBG關(guān)于BD對(duì)稱(chēng)，四邊形QEDH與四邊形PFBG關(guān)于AC對(duì)稱(chēng)．設(shè)菱形ABCD被這兩個(gè)四邊形蓋住部分的面積為S1 ， 未被蓋住部分的面積為S2 ， BP=x．
（1）用含x的代數(shù)式分別表示S1 ， S2；
（2）若S1=S2 ， 求x的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：①當(dāng)點(diǎn)P在BO上，0＜x≤2時(shí)，如圖1所示．

∵四邊形ABCD是菱形，AC=4 ，BD=4，

∴AC⊥BD，BO= BD=2，AO= AC=2 ，

且S菱形ABCD= BDAC=8 ．

∴tan∠ABO= = ．

∴∠ABO=60°．

在Rt△BFP中，

∵∠BFP=90°，∠FBP=60°，BP=x，

∴sin∠FBP= =sin60°= ．

∴FP= x．

∴BF= ．

∵四邊形PFBG關(guān)于BD對(duì)稱(chēng)，

四邊形QEDH與四邊形PEBG關(guān)于AC對(duì)稱(chēng)，

∴S△BFP=S△BGP=S△DEQ=S△DHQ．

∴S1=4S△BFP

=4× × x

= ．

∴S2=8 ﹣ ．

②當(dāng)點(diǎn)P在OD上，2＜x≤4時(shí)，如圖2所示．

∵AB=4，BF= ，

∴AF=AB﹣BF=4﹣ ．

在Rt△AFM中，

∵∠AFM=90°，∠FAM=30°，AF=4﹣ ．

∴tan∠FAM= =tan30°= ．

∴FM= （4﹣ ）．

∴S△AFM= AFFM

= （4﹣ ） （4﹣ ）

= （4﹣ ）2．

∵四邊形PFBG關(guān)于BD對(duì)稱(chēng)，

四邊形QEDH與四邊形FPBG關(guān)于AC對(duì)稱(chēng)，

∴S△AFM=S△AEM=S△CHN=S△CGN．

∴S2=4S△AFM

=4× （4﹣ ）2

= （x﹣8）2．

∴S1=8 ﹣S2=8 ﹣ （x﹣8）2．

綜上所述：

當(dāng)0＜x≤2時(shí)，S1= ，S2=8 ﹣ ；

當(dāng)2＜x≤4時(shí)，S1=8 ﹣ （x﹣8）2，S2= （x﹣8）2

（2）解：①當(dāng)點(diǎn)P在BO上時(shí)，0＜x≤2．

∵S1=S2，S1+S2=8 ，

∴S1=4 ．

∴S1= =4 ．

解得：x1=2 ，x2=﹣2 ．

∵2 ＞2，﹣2 ＜0，

∴當(dāng)點(diǎn)P在BO上時(shí)，S1=S2的情況不存在．

②當(dāng)點(diǎn)P在OD上時(shí)，2＜x≤4．

∵S1=S2，S1+S2=8 ，

∴S2=4 ．

∴S2= （x﹣8）2=4 ．

解得：x1=8+2 ，x2=8﹣2 ．

∵8+2 ＞4，2＜8﹣2 ＜4，

∴x=8﹣2 ．

綜上所述：若S1=S2，則x的值為8﹣2 ．

【解析】（1）根據(jù)對(duì)稱(chēng)性確定E、F、G、H都在菱形的邊上，由于點(diǎn)P在BO上與點(diǎn)P在OD上求S1和S2的方法不同，因此需分情況討論．（2）由S1=S2和S1+S2=8 可以求出S1=S2=4 ．然后在兩種情況下分別建立關(guān)于x的方程，解方程，結(jié)合不同情況下x的范圍確定x的值．
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件，利用菱形的性質(zhì)和軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)的相關(guān)知識(shí)可以得到問(wèn)題的答案，需要掌握菱形的四條邊都相等；菱形的對(duì)角線互相垂直，并且每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角；菱形被兩條對(duì)角線分成四個(gè)全等的直角三角形；菱形的面積等于兩條對(duì)角線長(zhǎng)的積的一半；關(guān)于某條直線對(duì)稱(chēng)的兩個(gè)圖形是全等形；如果兩個(gè)圖形關(guān)于某直線對(duì)稱(chēng)，那么對(duì)稱(chēng)軸是對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線的垂直平分線；兩個(gè)圖形關(guān)于某直線對(duì)稱(chēng)，如果它們的對(duì)應(yīng)線段或延長(zhǎng)線相交，那么交點(diǎn)在對(duì)稱(chēng)軸上．