Question

已知矩形ABCD中，AB=4，對(duì)角線BD=2AB，且BE平分∠ABD，點(diǎn)P從點(diǎn)D以每秒2個(gè)單位沿DB方向向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)B以每秒1個(gè)單位沿BA方向向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，△BPQ的面積為S．
（1）若t=2時(shí)，求證：△DBA∽△PBQ；
（2）求S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式及S的最大值；
（3）在運(yùn)動(dòng)的過程中，△BQM能否成為等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

（1）∵t=2，
∴BQ=2，PB=4，
∴

BQ

BA

=

BP

BD

，∠PBQ=∠PBQ，
∴△PBQ∽△DBA；

（2）過點(diǎn)Q作△PBQ的高h(yuǎn)，
則S_△PBQ=

1

2

PB•h=-

3

2

t²+2

3

t=-

3

2

（t-2）²+2

3

，
∴當(dāng)t=2時(shí)，Smax=2

3

；

（3）分三種情況討論：
①當(dāng)∠QBM=∠BMQ=30°時(shí)，有：
∠AQM=60°=∠ABD，
∴PQ∥BD，
∴與題意矛盾，不存在；
②當(dāng)∠QBM=∠BQM=30°時(shí)，如圖，則
BQ=2PB即2（8-2t）=t，得t=

16

5

≤4；
③當(dāng)∠BQM=∠BMQ=75°時(shí)，如圖，
作QF⊥BP，則：PB=BF+PF=BF+QF=

1

2

t+

3

2

t=8-2t，
得：t=

16

3 +5

=

40-8 3

11

≤4，
∴當(dāng)t=

16

5

或t=

40-8 3

11

時(shí)，△BQM成為等腰三角形．