Question

【題目】如圖，⊙O在矩形ABCD內，且與AB、BC邊都相切，E是BC上一點，將△DCE沿DE對折，點C的對稱點F恰好落在⊙O上，已知AB=20，BC=25，CE=10，則⊙O的半徑為______.

Answer 1

【答案】5

【解析】

過點F作AD，BC的垂線GH，過O作MN∥BC交AB于M，GH于N，易證△DGF∽△FHE，利用相似三角形的性質即可求出DG=HC=16，GF=12，FH=8，設圓O的半徑為r，在直角三角形FON中，利用勾股定理可得關于r的方程，解方程求出r的值即可．

過點F作AD,BC的垂線GH,過O作MN∥BC交AB于M，GH于N，

∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠C=90°，

∵將△DCE沿DE對折，點C的對稱點F恰好落在O上，

∴∠DFE=90°，

∴∠GFD+∠HFE=90°，

∵∠GFD+∠GDF=90°，

∴∠GDF=∠HFE，

∴△DGF∽△FHE，

∴，

∵AB=20，BC=25，CE=10，

∴DG=HC=16，GF=12，FH=8，

設圓O的半徑為r，

在直角三角形FON中, ，

解得：r=5，

故答案為：5.