Question

如圖，拋物線y=

1

2

x2+bx+c與直線l：y=

3

4

x-1交于點(diǎn)A（4，2）、B（0，-1）．
（1）求拋物線的解析式；
（2）點(diǎn)D在直線l下方的拋物線上，過點(diǎn)D作DE∥y軸交l于E、作DF⊥l于F，設(shè)點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為t．
①用含t的代數(shù)式表示DE的長；
②設(shè)Rt△DEF的周長為p，求p與t的函數(shù)關(guān)系式，并求p的最大值及此時點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（3）點(diǎn)M在拋物線上，點(diǎn)N在x軸上，若△BMN是以M為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，請直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）直接將A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線的解析式中，通過解方程組即可得出待定系數(shù)的值．
（2）①首先用t表示出E、D兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)，它們差的絕對值即為DE的長度表達(dá)式；
②此題若求△DEF的三邊長難度比較大，所以需要轉(zhuǎn)換一下解題思路；觀察圖形，若設(shè)直線AB與x軸的交點(diǎn)為G，顯然△GBO和△DEF相似，所以先求出△GBO的周長，然后利用相似三角形的周長比等于對應(yīng)邊的比來列式求解．
（3）若表達(dá)出△BMN的三邊長，然后根據(jù)等腰直角三角形的腰相等和勾股定理來列方程組，這樣解答的計(jì)算量會非常大，所以可以從幾何角度入手來降低解題難度；首先△BMN是以M為直角頂點(diǎn)的等腰直角愛三角形，那么可以根據(jù)腰相等來構(gòu)建全等三角形解答；作出點(diǎn)M在y軸左側(cè)的圖形（無論點(diǎn)M在哪里，解題思路相同），過M作y軸的垂線，交x軸于R，過B作MR的垂線，設(shè)垂足為S，那么通過證△MNR≌△BMS，得出MR=BS=OR，即點(diǎn)M橫縱坐標(biāo)的絕對值相同，再聯(lián)立拋物線的解析式即可得出點(diǎn)M的坐標(biāo)．

解答：解：（1）由題意，知：

1 2 ×42+4b+c=2 c=-1

，
解得

b=- 5 4 c=-1

故拋物線的解析式為y=

1

2

x²-

5

4

x-1．

（2）①D在y=

1

2

x²-

5

4

x-1上，可設(shè)D（t，

1

2

t²-

5

4

t-1），E（t，

3

4

t-1）；
則DE=

3

4

t-1-（

1

2

t²-

5

4

t-1）=-

1

2

t²+2t；
②∵在y=

3

4

x-1中，令y=0得x=

4

3

，
∴直線AB與x軸交于G（

4

3

，0），
∴BG=

12+( 4 3 )2

=

5

3

，
∴△OBG的周長為1+

4

3

+

5

3

=4；
∵DE∥y軸，
∴△GBO∽△DEF，
∴

p

4

=

- 1 2 t2+2t

5 3

∴p=-

6

5

t²+

24

5

t=-

6

5

（t-2）²+

24

5

，
∴當(dāng)t=2時，p_max=

24

5

，此時D（2，-

3

2

）．

（3）以點(diǎn)M在y軸左側(cè)為例，如右圖；
過M作x軸的垂線，設(shè)垂足為R；若點(diǎn)B作MR的垂線，設(shè)垂足為S；
∵在△MNR與△BMS中，

∠MNR=∠BMS=90°-∠NMR MN=BM ∠MRN=∠BSM=90°

，
∴△MNR≌△BMS，
MR=BS=OR；
當(dāng)點(diǎn)M在x軸左側(cè)時，與上相同，所以可設(shè)M（a，±a）；
當(dāng)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（a，a）時，有：

1

2

a²-

5

4

a-1=a，解得：a=

9± 113

4

；
當(dāng)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（a，-a）時，有：

1

2

a²-

5

4

a-1=-a，解得：a=

1± 33

4

；
綜上，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（

9+ 113

4

，

9+ 113

4

），（

9- 113

4

，

9- 113

4

），（

1+ 33

4

，-

1+ 33

4

），（

1- 33

4

，-

1- 33

4

）．

點(diǎn)評：此題主要考查了二次函數(shù)解析式的確定、相似三角形以及全等三角形的應(yīng)用、等腰直角三角形的性質(zhì)等重要知識點(diǎn)；后面兩個小題中，利用幾何知識來解是比較簡便快捷的方式，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想的合理應(yīng)用．