Question

（2013•東營）已知拋物線y=ax²+bx+c的頂點A（2，0），與y軸的交點為B（0，-1）．
（1）求拋物線的解析式；
（2）在對稱軸右側(cè)的拋物線上找出一點C，使以BC為直徑的圓經(jīng)過拋物線的頂點A．并求出點C的坐標以及此時圓的圓心P點的坐標．
（3）在（2）的基礎上，設直線x=t（0＜t＜10）與拋物線交于點N，當t為何值時，△BCN的面積最大，并求出最大值．

Answer 1

分析：（1）利用頂點式寫出二次函數(shù)解析式，進而得出a的值，得出解析式即可；
（2）首先得出△AOB∽△CDA，進而得出y與x之間的函數(shù)關(guān)系，即可得出點C的坐標，根據(jù)PH=

1

2

（OB+CD）求出P點坐標即可；
（3）首先設點N的坐標為（t，-

1

4

t²+t-1），得出S△BCN=S△BMN+S△CMN=

1

2

MN×10，求出直線BC的解析式，進而表示出M點坐標，即可得出△BCN與t的函數(shù)關(guān)系式，求出最值即可．

解答：解：（1）∵拋物線的頂點是A（2，0），
設拋物線的解析式為y=a（x-2）²．
由拋物線過B（0，-1）得：4a=-1，
∴a=-

1

4

，
∴拋物線的解析式為y=-

1

4

(x-2)2．
即y=-

1

4

x2+x-1．

（2）如圖1，設C的坐標為（x，y）．
∵A在以BC為直徑的圓上．∴∠BAC=90°．
作CD⊥x軸于D，連接AB、AC．
∵∠OAB+∠DAC=90°，∠OAB+∠ABO=90°，
∴∠ABO=∠CAD，
∵∠BOA=∠ADC=90°，
∴△AOB∽△CDA，
∴

OB

AD

=

OA

CD

∴OB•CD=OA•AD．
即1•|y|=2（x-2）．∴|y|=2x-4．
∵點C在第四象限．
∴y=-2x+4，
由

y=-2x+4 y=- 1 4 x2+x-1

，
解得

x1=10 y1=-16

，

x2=2 y2=0

．
∵點C在對稱軸右側(cè)的拋物線上．
∴點C的坐標為 （10，-16），
∵P為圓心，∴P為BC中點．
取OD中點H，連PH，則PH為梯形OBCD的中位線．
∴PH=

1

2

（OB+CD）=

17

2

．
∵D（10，0）∴H（5，0）
∴P （5，-

17

2

）．
故點P坐標為（5，-

17

2

）．

（3）如圖2，設點N的坐標為（t，-

1

4

t²+t-1），直線x=t（0＜t＜10）與直線BC交于點M．
S△BMN=

1

2

MN•t，S△CMN=

1

2

MN•(10-t)，
所以S△BCN=S△BMN+S△CMN=

1

2

MN×10，
設直線BC的解析式為y=kx+b，直線BC經(jīng)過B（0，-1）、C （10，-16），
所以

b=-1 10k+b=-16

成立，
解得：

k=- 3 2 b=-1

，
所以直線BC的解析式為y=-

3

2

x-1，則點M的坐標為（t，-

3

2

t-1），
MN=(-

1

4

t2+t-1)-(-

3

2

t-1)=-

1

4

t2+

5

2

t，
S△BCN=

1

2

(-

1

4

t2+

5

2

t)×10，
=-

5

4

t2+

25

2

t
=-

5

4

(t-5)2+

125

4

，
所以，當t=5時，S_△BCN有最大值，最大值是

125

4

．

點評：此題主要考查了二次函數(shù)的綜合應用以及待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式和相似三角形的判定與性質(zhì)等知識，根據(jù)已知利用數(shù)形結(jié)合得出是解題關(guān)鍵．