Question

如圖，在邊長(zhǎng)為2的圓內(nèi)接正方形ABCD中，AC是對(duì)角線，P為邊CD的中點(diǎn)，延長(zhǎng)AP交圓于點(diǎn)E．
（1）∠E=

 

度；
（2）寫出圖中現(xiàn)有的一對(duì)不全等的相似三角形，并說(shuō)明理由；
（3）求弦DE的長(zhǎng)．

Answer 1

分析：由“同弧所對(duì)的圓周角相等”可知∠E=∠ACD=45°，∠CAE=∠EDC，所以△ACP∽△DEP；求弦DE的長(zhǎng)有兩種方法：
一，利用△ACP∽△DEP的相似比

AP

DP

=

AC

DE

求DE的長(zhǎng)；
二、過點(diǎn)D作DF⊥AE于點(diǎn)F，利用Rt△DFE中的勾股定理求得DE的長(zhǎng)．

解答：解：（1）∵∠ACD=45°，∠ACD=∠E，
∴∠E=45°．（2分）

（2）△ACP∽△DEP，（4分）
理由：∵∠AED=∠ACD，∠APC=∠DPE，
∴△ACP∽△DEP．（6分）

（3）方法一：
∵△ACP∽△DEP，
∴

AP

DP

=

AC

DE

．（7分）
∵P為CD邊中點(diǎn)，
∴DP=CP=1
∵AP=

AD2+DP2

=

5

，AC=

AD2+DC2

=2

2

，（9分）
∴DE=

2 10

5

．（10分）
方法二：
如圖2，過點(diǎn)D作DF⊥AE于點(diǎn)F，
在Rt△ADP中，AP=

AD2+DP2

=

5

．（7分）
又∵S_△ADP=

1

2

AD•DP=

1

2

AP•DF，（8分）
∴DF=

2 5

5

．（9分）
∴DE=

2

DF=

2 10

5

．（10分）

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查相似三角形的判定及圓周角定理的運(yùn)用．