Question

（2012•黃石）如圖所示，已知A（

1

2

，y₁），B（2，y₂）為反比例函數(shù)y=

1

x

圖象上的兩點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P（x，0）在x軸正半軸上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)線段AP與線段BP之差達(dá)到最大時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)是（　　）

• A．（

  1

  2

  ，0）
• B．（1，0）
• C．（

  3

  2

  ，0）
• D．（

  5

  2

  ，0）

Answer 1

分析：求出AB的坐標(biāo)，設(shè)直線AB的解析式是y=kx+b，把A、B的坐標(biāo)代入求出直線AB的解析式，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系定理得出在△ABP中，|AP-BP|＜AB，延長AB交x軸于P′，當(dāng)P在P′點(diǎn)時(shí)，PA-PB=AB，此時(shí)線段AP與線段BP之差達(dá)到最大，求出直線AB于x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)即可．

解答：解：∵把A（

1

2

，y₁），B（2，y₂）代入反比例函數(shù)y=

1

x

得：y₁=2，y₂=

1

2

，
∴A（

1

2

，2），B（2，

1

2

），
∵在△ABP中，由三角形的三邊關(guān)系定理得：|AP-BP|＜AB，
∴延長AB交x軸于P′，當(dāng)P在P′點(diǎn)時(shí)，PA-PB=AB，
即此時(shí)線段AP與線段BP之差達(dá)到最大，
設(shè)直線AB的解析式是y=kx+b，
把A、B的坐標(biāo)代入得：

2= 1 2 k+b 1 2 =2k+b

，
解得：k=-1，b=

5

2

，
∴直線AB的解析式是y=-x+

5

2

，
當(dāng)y=0時(shí)，x=

5

2

，
即P（

5

2

，0），
故選D．

點(diǎn)評：本題考查了三角形的三邊關(guān)系定理和用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是確定P點(diǎn)的位置，題目比較好，但有一定的難度．