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        1. 精英家教網 > 初中數學 > 題目詳情
          如圖,已知二次函數y=ax2+bx+c的圖象與x軸交于點A(5,0),與y軸交于點B,過點B作BC⊥y軸,BC與函數y=ax2+bx+c的圖象交于點C(2,4).
          (1)設函數y=ax2+bx+c的圖象與x軸的另一個交點為D,求△BDA的面積.
          (2)若P為y軸上的一個動點,連接PA、PC,分別過A、C作PC、PA的平行線交于點Q,連接PQ.試探究:
          ①是否存在點P,使得PQ2=PA2+PC2?請說明理由.
          ②是否存在點P,使得PQ取得最小值?若存在,請求出這個最小值,并求出此時點P的坐標;若不存在,請說明理由.
          分析:(1)求出點B的坐標,再利用待定系數法求二次函數解析式解答,然后令y=0,解關于x的一元二次方程求出點D的坐標,再求出AD的長,然后利用三角形的面積公式列式計算即可得解;
          (2)①先判斷出四邊形AQCP是平行四邊形,根據平行四邊形的對邊相等可得PC=AQ,然后根據勾股定理逆定理判斷出∠PAQ=90°,再求出∠APC=90°,然后求出△AOP和△PBC相似,設OP=x,表示出BP,然后根據相似三角形對應邊成比例列式整理,再利用根的判別式解答;
          ②連接AC,與PQ相交于點E,先求出點E的坐標,再根據平行四邊形的對角線互相平分可得PE=EQ,再根據垂線段最短可知PQ⊥y軸時PQ的值最小,然后寫出點P的坐標即可.
          解答:解:(1)∵BC⊥y軸,點C(2,4),
          ∴點B的坐標為(0,4),
          又∵拋物線還經過點A(5,0),C(2,4),
          25a+5b+c=0
          4a+2b+c=4
          c=4
          ,
          解得
          a=-
          4
          15
          b=
          8
          15
          c=4
          ,
          所以,拋物線的解析式為y=-
          4
          15
          x2+
          8
          15
          x+4,
          令y=0,則-
          4
          15
          x2+
          8
          15
          x+4=0,
          整理得,x2-2x-15=0,
          解得x1=-3,x2=5,
          所以,點D的坐標為(-3,0),
          ∴AD=5-(-3)=5+3=8,
          △BDA的面積=
          1
          2
          AD•OB=
          1
          2
          ×8×4=16;

          (2)①∵PC∥AQ,CQ∥PA,
          ∴四邊形AQCP是平行四邊形,
          ∴PC=AQ,
          ∵PQ2=PA2+PC2,
          ∴PQ2=PA2+AQ2
          ∴∠PAQ=90°,
          ∴∠APC=180°-∠PAQ=180°-90°=90°,
          又∵∠PBC=∠AOP=90°,
          ∴∠APO+∠PAO=90°,∠APO+∠BPC=90°,
          ∴∠PAO=∠BPC,
          ∴△AOP∽△PBC,
          PO
          BC
          =
          AO
          BP
          ,
          設OP=x,表示出BP=4-x,
          x
          2
          =
          5
          4-x
          ,
          整理得,x2-4x+10=0,
          ∵△=b2-4ac=(-4)2-4×1×10=-24<0,
          ∴該方程沒有實數根,
          ∴不否存在點P,使得PQ2=PA2+PC2;

          ②如圖,連接AC,與PQ相交于點E,
          ∵A(5,0),C(2,4),
          ∴點E的坐標為(
          7
          2
          ,2),
          ∵四邊形AQCP是平行四邊形,
          ∴PE=EQ,
          由垂線段最短可知PQ⊥y軸時PE最小,
          ∴PQ的值最小,
          此時,點P的縱坐標與點E的縱坐標相同,為2,
          ∴點P的坐標為(0,2),此時,PQ=7
          故存在點P(0,2),使得PQ取得最小值7.
          點評:本題是二次函數綜合題型,主要考查了待定系數法求二次函數解析式,平行四邊形的判定與性質,相似三角形的判定與性質,根的判別式的利用,垂線段最短,(2)②確定出PQ與y軸垂直時取值最小是解題的關鍵.
          練習冊系列答案
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          科目:初中數學 來源: 題型:

          如圖,已知二次函數圖象的頂點坐標為C(1,1),直線y=kx+m的圖象與該二次函數的圖象交于A、B兩點,其中A點坐標為(
          5
          2
          13
          4
          ),B點在y軸上,直線與x軸的交點為F,P為線段AB上的一個動點(點P與A、B不重合),過P作x軸的垂線與這個二次函數的圖象交于E點.
          (1)求k,m的值及這個二次函數的解析式;
          (2)設線段PE的長為h,點P的橫坐標為x,求h與x之間的函數關系式,并寫出自變量x的取值范圍;
          (3)D為直線AB與這個二次函數圖象對稱軸的交點,在線段AB上是否存在點P,使得以點P、E、D為頂點的精英家教網三角形與△BOF相似?若存在,請求出P點的坐標;若不存在,請說明理由.

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          科目:初中數學 來源: 題型:

          如圖,已知二次函數y=ax2+bx+3(a≠0)的圖象與x軸交于點A(-1,0)和點B(3,0)兩點(點A在點B的左邊),與y軸交于點C.
          (1)求此二次函數的解析式,并寫出它的對稱軸;
          (2)若直線l:y=kx(k>0)與線段BC交于點D(不與點B,C重合),則是否存在這樣的直線l,使得以B,O,D為頂點的三角形與△BAC相似?若存在,求出點D的坐標;若不存在,請說明理由;
          (3)若直線l′:y=m與該拋物線交于M、N兩點,且以MN為直徑的圓與x軸相切,求該圓半徑的長度.
          精英家教網

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          科目:初中數學 來源: 題型:

          精英家教網如圖,已知二次函數圖象的頂點坐標為C(1,0),直線y=x+b與該二次函數的圖象交于A、B兩點,其中點A的坐標為(3,4),點B在y軸上.點P為線段AB上的一個動點(點P與A、B不重合),過點P作x軸的垂線與該二次函數的圖象交于點E.
          (1)求b的值及這個二次函數的關系式;
          (2)設線段PE的長為h,點P的橫坐標為x,求h與x之間的函數關系式,并寫出自變量x的取值范圍;
          (3)若點D為直線AB與該二次函數的圖象對稱軸的交點,則四邊形DCEP能否構成平行四邊形?如果能,請求出此時P點的坐標;如果不能,請說明理由.
          (4)以PE為直徑的圓能否與y軸相切?如果能,請求出點P的坐標;如果不能,請說明理由.

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          科目:初中數學 來源: 題型:

          精英家教網如圖,已知二次函數y=ax2-4x+c的圖象與坐標軸交于點A(-1,0)和點C(0,-5).
          (1)求該二次函數的解析式和它與x軸的另一個交點B的坐標.
          (2)在上面所求二次函數的對稱軸上存在一點P(2,-2),連接OP,找出x軸上所有點M的坐標,使得△OPM是等腰三角形.

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          科目:初中數學 來源: 題型:

          (2012•衡水一模)如圖,已知二次函數y=-
          12
          x2+bx+c
          的圖象經過A(2,0)、B(0,-6)兩點.
          (1)求這個二次函數的解析式;
          (2)設該二次函數圖象的對稱軸與x軸交于點C,連接BA、BC,求△ABC的面積;
          (3)若拋物線的頂點為D,在y軸上是否存在一點P,使得△PAD的周長最?若存在,求出點P的坐標;若不存在,請說明理由.

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