Question

如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，等腰Rt△AOB的斜邊OB在x軸上，直線y=3x-4經(jīng)過等腰Rt△AOB直角頂點(diǎn)A，交y軸于C點(diǎn)，雙曲線y=（x＞0）也恰好經(jīng)過點(diǎn)A．
（1）求k的值；
（2）如圖2，過點(diǎn)O作OD⊥AC于D，求CD²-AD²的值；
（3）如圖3，將△AOB繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)，射線AO交x軸正半軸于點(diǎn)P，射線AB交（1）中雙曲線上于點(diǎn)Q，△PAQ能否成為以A為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形？若能，求點(diǎn)P，Q的坐標(biāo)；若不能，請說明理由．

Answer 1

解：（1）過點(diǎn)A作AM⊥x軸于點(diǎn)M，AN⊥y軸于N，
則AM=AN，
∴設(shè)A（a，a）代入y=3x-4中，a=3a-4，
解得：a=2，
∴A（2，2），
代入y=中，xy=k=4，
∴y=；

（2）∵A（2，2），∴AO²=2²+2²=8，
又∵y=3x-4，x=0時，y=-4，
∴C（0，-4），
∴CO=4，CO²=16，
在Rt△AOD中，
AD²=OA²-OD²①，
在Rt△COD中，
CD²=OC²-OD²②，
②-①：CD²-AD²=OC²-OA²=16-8=8；

（3）能，
如圖3過點(diǎn)B作BQ⊥x軸于點(diǎn)B，交雙曲線于點(diǎn)Q，旋轉(zhuǎn)到此時，
射線AB交雙曲線于Q時，△PAQ為等腰直角三角形；
∵∠AOP=∠ABQ=45°，OA=BA，
又∵∠OAB=∠PAQ=90°，
∴∠OAP=∠BAQ，
在△AOP和△ABQ中
，
∴△AOP≌△ABQ（ASA），
∴AP=AQ，∴△PAQ為等腰直角三角形，
此時x_Q=x_B=4，
∴y==1，
∴Q（4，1），
∴OP=QB=1，
∴P（1，0）．
分析：（1）首先過點(diǎn)A作AM⊥x軸于點(diǎn)M，AN⊥y軸于N，則AM=AN，進(jìn)而得出A點(diǎn)橫縱坐標(biāo)相等，進(jìn)而代入一次函數(shù)解析式求出即可；
（2）利用（1）中所求出得出AD²=OA²-OD²①，CD²=OC²-OD²②，利用②-①：CD²-AD²=OC²-OA²求出即可；
（3）如圖3過點(diǎn)B作BQ⊥x軸于點(diǎn)B，交雙曲線于點(diǎn)Q，旋轉(zhuǎn)到此時，射線AB交雙曲線于Q時，△PAQ為等腰直角三角形，利用已知得出△AOP≌△ABQ（ASA），進(jìn)而得出P，Q點(diǎn)坐標(biāo)．
點(diǎn)評：此題主要考查了反比例函數(shù)綜合應(yīng)用以及全等三角形的判定與性質(zhì)和勾股定理的應(yīng)用等知識，利用數(shù)形結(jié)合得出是解題關(guān)鍵．