Question

（2013•葫蘆島一模）（1）如圖1，在矩形ABCD中，AB=2BC，M是AB的中點(diǎn)．直接寫出∠BMD與∠ADM的倍數(shù)關(guān)系；
（2）如圖2，若四邊形ABCD是平行四邊形，AB=2BC，M是AB的中點(diǎn)，過C作CE⊥AD與AD所在直線交于點(diǎn)E．
①若∠A為銳角，則∠BME與∠AEM有怎樣的倍數(shù)關(guān)系，并證明你的結(jié)論；
②當(dāng)0°＜∠A＜

120

°時(shí)，上述結(jié)論成立；當(dāng)

120

°≤∠A＜180°時(shí)，上述結(jié)論不成立．

Answer 1

分析：（1）求出AM=AD，得到△ADM是等腰直角三角形，然后求出∠BMD與∠ADM的度數(shù)，從而得解；
（2）①連接CM，取CE的中點(diǎn)F，連接MF，交DC于N，根據(jù)平行線分線段成比例定理可得MF∥AE∥BC，再根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等可得∠AEM=∠1，∠2=∠4，再根據(jù)AB=2BC，M是AB的中點(diǎn)，利用等邊對(duì)等角的性質(zhì)求出∠3=∠4，根據(jù)三角形三線合一的性質(zhì)求出∠1=∠2，從而得解；
②求出當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)A重合時(shí)的∠A的度數(shù)，即為臨界值，小于臨界值，點(diǎn)E在射線AD上，成立，否則不成立．

解答：解：（1）∵AB=2BC，M是AB的中點(diǎn)，
∴AD=BC=AM，
∴△ADM是等腰直角三角形，
∴∠ADM=45°，∠BMD=180°-∠AMD=180°-45°=135°，
∴∠BMD=3∠ADM；

（2）①如圖，連接CM，取CE的中點(diǎn)F，連接MF，交DC于N，
∵M(jìn)是AB的中點(diǎn)，
∴MF∥AE∥BC，
∴∠AEM=∠1，∠2=∠4，
∵AB=2BC，
∴BM=BC，
∴∠3=∠4．
∵CE⊥AE，
∴MF⊥EC，
又∵F是EC的中點(diǎn)，
∴ME=MC，
∴∠1=∠2，
∴∠1=∠2=∠3，
∴∠BME=3∠AEM；

②當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)A重合時(shí)，∵CE⊥AD，AB=2BC，
∴∠B=60°，
∴∠A=180°-∠B=180°-60°=120°，
所以，當(dāng)0°＜∠A＜120°時(shí)，結(jié)論成立；
當(dāng)120°≤∠A＜180°時(shí)，結(jié)論不成立．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了矩形的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)以及平行線的性質(zhì)，（2）比較復(fù)雜，作出輔助線，把∠BME分成相等的三個(gè)角是解題的關(guān)鍵．