Question

如圖，四邊形ABCD為矩形，AB＝4，AD＝3，動(dòng)點(diǎn)M、N分別從D、B同時(shí)出發(fā)，以1個(gè)單位/秒的速度運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)M沿DA向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)N沿BC向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)。過點(diǎn)N作NP⊥BC，交AC于點(diǎn)P，連結(jié)MP。已知?jiǎng)狱c(diǎn)運(yùn)動(dòng)了秒。

小題1:請(qǐng)直接寫出PN的長(zhǎng)           ；（用含的代數(shù)式表示）
小題2:若0秒≤≤3秒，試求△MPA的面積S與時(shí)間秒的函數(shù)關(guān)系式，并求S的最大值。
小題3:若0秒≤≤3秒，△MPA能否與△PCN相似？若能，試求出相似時(shí)的對(duì)應(yīng)值；若不能，試說明理由。

Answer 1

小題1:；
小題2:延長(zhǎng)NP交AD于點(diǎn)Q，則PQ⊥AD，由⑴得：PN＝，
則。
依題意，可得：
∵0≤≤1.5
∴當(dāng)時(shí)，S有最大值，S_最大值＝�！�………………4分
小題3:能相似
共有兩種情況，以下分類說明：
①  …………………2分
②3或…………………2分
綜上所述，當(dāng)，或，或時(shí)，△MPA與△NPA相似

（1）可在直角三角形CPN中，根據(jù)CN的長(zhǎng)和∠CPN的正切值求出．
（2）三角形MPA中，底邊AM的長(zhǎng)為3-x，關(guān)鍵是求出MA邊上的高，可延長(zhǎng)NP交AD于Q，那么PQ就是三角形AMP的高，可現(xiàn)在直角三角形CNP中求出PN的長(zhǎng)，進(jìn)而根據(jù)AB的長(zhǎng)，表示出PQ的長(zhǎng)，根據(jù)三角形的面積公式即可得出S與x的函數(shù)關(guān)系式．根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)可得出S的最大值．
（3）本題要分三種情況：
①M(fèi)P=PA，那么AQ=BN=AM，可用x分別表示出BN和AM的長(zhǎng)，然后根據(jù)上述等量關(guān)系可求得x的值．
②MA=MP，在直角三角形MQP中，MQ=MA-BN，PQ=AB-PN根據(jù)勾股定理即可求出x的值．
③MA=PA，不難得出AP=BN，然后用x表示出AM的長(zhǎng)，即可求出x的值．