Question

如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，現(xiàn)將直角△ABC放在第二象限，斜靠在兩坐標(biāo)軸上，且∠ACB=90°，BC=

5

2

，點(diǎn)A（0，2），點(diǎn)C（-1，0）．拋物線y=ax2+

1

5

ax-12a-3經(jīng)過點(diǎn)B．
（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）求拋物線的解析式；
（3）在拋物線上是否還存在點(diǎn)P（點(diǎn)B除外），使△ACP仍然是以AC為直角邊的直角三角形且與△ABC相似？若存在，求所有滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）要求點(diǎn)B的坐標(biāo)，就過點(diǎn)B作垂線．利用三角形相似和勾股定理可以求出．
（2）利用待定系數(shù)法把點(diǎn)B的坐標(biāo)代入解析式求出a值，從而求出拋物線的解析式．
（3）要求是否有滿足條件的點(diǎn)，假設(shè)存在看需要的條件，本題在x=0時，y=2．拋物線經(jīng)過點(diǎn)A，只要證明△ABP為直角三角形就可，利用一次函數(shù)與拋物線的交點(diǎn)就可以求出點(diǎn)P．

解答：解：（1）過點(diǎn)B作BD⊥OC于D，
∴∠BDC=90°
∵∠ACB=90°
∴∠BCD+∠ACO=90°
∵∠ACO+∠1=90°
∴∠BCD=∠1
∠BDC=∠AOC=90°
∴△BDC∽△COA
∴

BD

CO

=

DC

OA

=

BC

AC

在Rt△AOC中，OA=2，OC=1，由勾股定理，得
AC=

5

∵BC=

5

2

∴BD=

1

2

，DC=1
∴B（-2，

1

2

）；

（2）由題意得

1

2

=4a-

2

5

a-12a-3
解得a=-

5

12

∴拋物線的解析式為：y=-

5

12

x2-

1

12

x+2

（3）存在點(diǎn)P，使△PAC∽△ABC．
∵AC⊥BP，∴B、C、P在同一直線上，設(shè)BC的解析式為：y=kx+b由題意得

1 2 =-2k+b 0=-k+b

解得：

k=- 1 2 b=- 1 2

直線BC的解析式為：y=-

1

2

x-

1

2

∴直線BC與拋物線的另一交點(diǎn)坐標(biāo)為P（3，-2）
利用兩點(diǎn)間的距離公式求得：
AP2=25，BP2=

125

4

由勾股定理得：AB2=

25

4

∴AB²+AP²=BP²
∴△ABP為直角三角形
∵AC⊥BP
∴△ABC∽△PAC
∴P（3，-2）．
②作AE⊥AC于A交x軸于E，
∴△AOC∽△EOA，
∴

AO

OE

=

OC

OA

，
∴

2

OE

=

1

2

，
∴OE=4，
∴E（4，0）．
設(shè)AE的解析式為y=kx+b，由題意，得

0=4k+b 2=b

，
解得：

k=- 1 2 b=2

，
∴直線AE的解析式為：y=-

1

2

x+2；

y=- 5 12 x2- 1 12 x+2 y=- 1 2 x+2

，
解得：

x1=0 y1=2

，

x2=1 y2= 3 2

；
∴P（0，2）（舍去），P（1，

3

2

）
∴P（3，-2）或（1，

3

2

）．

點(diǎn)評：本題是一道二次函數(shù)綜合題，考查了相似三角形的運(yùn)用，利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，勾股定理的運(yùn)用等知識，對學(xué)生的綜合能力要求比較強(qiáng)．