Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分線(xiàn)交BC于點(diǎn)D， 點(diǎn)O在AB上，以點(diǎn)O為圓心，OA為半徑的圓恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)D，分別交AC、AB于點(diǎn)E、F．

（1）試判斷直線(xiàn)BC與OD的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由.

（2）若BD＝，BF＝3，求⊙O的半徑.

Answer 1

【答案】（1）線(xiàn)BC與⊙O的位置關(guān)系是相切，理由見(jiàn)解析；（2）⊙O的半徑是3．

【解析】

（1）連接OD，由OA＝OD得到∠OAD＝∠ODA，由AD平分∠CAB得到∠OAD＝∠CAD，則∠ODA＝∠CAD，求出OD//AC，進(jìn)而得到OD⊥BC，根據(jù)切線(xiàn)的判定得出即可；
（2）根據(jù)勾股定理得出方程，求出方程的解即可．

（1）線(xiàn)BC與⊙O的位置關(guān)系是相切，
理由是：連接OD，

∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA，
∵AD平分∠CAB，
∴∠OAD＝∠CAD，
∴∠ODA＝∠CAD，
∴OD//AC，
∵∠C＝90°，
∴∠ODB＝90°，即OD⊥BC，
∵OD為半徑，
∴線(xiàn)BC與⊙O的位置關(guān)系是相切；
（2）設(shè)⊙O的半徑為R，
則OD＝OF＝R，
在Rt△BDO中，由勾股定理得：OB2＝BD2+OD2，
即(R+3)2＝()2+R2，
解得：R＝3，
即⊙O的半徑是3．