Question

如圖，P是拋物線C：y=2x²-8x+8對稱軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，直線x=k平行于y軸，分別與直線y=x、拋物線C交于點(diǎn)A、B．若△ABP是以點(diǎn)A或點(diǎn)B為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，則滿足條件的k為

 

．

Answer 1

分析：依題意，得A（k，k），B（k，2k²-8k+8），則AB=|k-（2k²-8k+8）|=|2k²-9k+8|，當(dāng)△ABP是以點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形時(shí)，則∠PAB=90°，PA=AB=|k-2|；當(dāng)△ABP是以點(diǎn)B為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形時(shí)，則∠PBA=90°，PB=AB=|k-2|；分別列方程求k的值．

解答：解：∵直線x=k分別與直線y=x、拋物線y=2x²-8x+8交于點(diǎn)A、B兩點(diǎn)，
∴A（k，k），B（k，2k²-8k+8），AB=|k-（2k²-8k+8）|=|2k²-9k+8|，
①當(dāng)△ABP是以點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形時(shí)，∠PAB=90°，此時(shí)PA=AB=|k-2|，
即|2k²-9k+8|=|k-2|，解得k=

5± 5

2

或1或3；
②當(dāng)△ABP是以點(diǎn)B為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形時(shí)，則∠PBA=90°，此時(shí)PB=AB=|k-2|，結(jié)果同上．
故答案為：

5± 5

2

或1或3．

點(diǎn)評：本題考查了二次函數(shù)的綜合運(yùn)用．關(guān)鍵是根據(jù)函數(shù)解析式表示A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)，再表示線段AB，根據(jù)題意，列方程求解．