Question

【題目】在平面直角坐標系xOy中，過y軸上一點A作平行于x軸的直線交某函數(shù)圖象于點D，點P是x軸上一動點，連接DP，過點P作DP的垂線交y軸于點E（E在線段OA上，E不與點O重合），則稱∠DPE為點D，P，E的“平橫縱直角”．圖1為點D，P，E的“平橫縱直角”的示意圖．如圖2，在平面直角坐標系xOy中，已知二次函數(shù)圖象與y軸交于點F（0，m），與x軸分別交于點B（﹣3，0），C（12，0）．若過點F作平行于x軸的直線交拋物線于點N．

（1）點N的橫坐標為　　；

（2）已知一直角為點N，M，K的“平橫縱直角”，若在線段OC上存在不同的兩點M1、M2，使相應的點K1、K2都與點F重合，試求m的取值范圍；

（3）設拋物線的頂點為點Q，連接BQ與FN交于點H，當45°≤∠QHN≤60°時，求m的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）9；（2）；（3）m的取值范圍為．

【解析】

（1）利用拋物線的對稱性即可得出結論；
（2）方法1、先判斷出以FN為直徑的圓與OC有兩個交點，得出|m|＜，即可得出結論；

方法2、先判斷出△MOK∽△NWM，得出y＝x2+x，當y=m時轉化出關于x的方程只有一個實數(shù)根即可得出結論；
（3）先確定出a＝m．進而得出y＝m(x+3)(x12)＝m(x)2+m．再得出tan∠BQG==，借助30°≤∠BQG≤45°，即可得出結論．

解：（1）∵拋物線與x軸分別交于點B（﹣3，0），C（12，0），

∴此拋物線的對稱軸為x=，

∵FN∥x軸，且F（0，m），

∴N(n,m)橫坐標滿足0+n=9，

∴n=9

故答案為：9，

（2）方法一：∵MK⊥MN，

∴要使線段OC上存在不同的兩點M1、M2，使相應的點K1、K2都與點F重合，也就是使以FN為直徑的圓與OC有兩個交點，即r＞|m|．

∵，

∴．

又∵m＞0，

∴．

方法二：∵m＞0，

∴點K在x軸的上方．

過N作NW⊥OC于點W，

設OM=x，OK=y，

則 CW=OC﹣OW=3，WM=9﹣x．

∵一直角為點N，M，K的“平橫縱直角”，

∴∠NMK=90°，

∴∠OMK+∠NMW=90°，

∵∠OMK+∠OKM=90°，

∴∠OKM=∠WMN，

∵∠KOM=∠MWN=90°，

∴△MOK∽△NWM，

∴,

∴．

∴．

當y=m時，，

化為x2﹣9x+m2=0．

當△=0，即92﹣4m2=0，

解得時，

線段OC上有且只有一點M，使相應的點K與點F重合．

∵m＞0，

∴線段OC上存在不同的兩點M1、M2，使相應的點K1、K2都與點F重合時，m的取值范圍為．

（3）設拋物線的表達式為：y=a（x+3）（x﹣12）（a≠0），

又∵拋物線過點F（0，m），

∴m=﹣36a．

∴．

∴．

過點Q作QG⊥x軸與FN 交于點R，

∴QG=m，

∵FN∥x軸，

∴∠QRH=90°，

∵tan∠BQG=，

，，

∴tan∠BQG==，

又45°≤∠QHN≤60°，

∴30°≤∠BQG≤45°，

∴當∠BQG=30°時，

∴tan30°=，

∴，

當∠BQG=45°時，tan45°=，

∴．

∴m的取值范圍為．