Question

（2013•太倉(cāng)市二模）如圖，已知拋物線y=ax²+bx（a≠0）經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（10，0）和B（2，4），點(diǎn)P從原點(diǎn)出發(fā)向點(diǎn)A作勻速運(yùn)動(dòng)，速度為每秒1個(gè)單位，過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線，與直線OB交于點(diǎn)E，延長(zhǎng)PE到D，使DE=PE，以PD為斜邊在直線PD的右側(cè)作等腰Rt△PCD．
（1）a=

-

1

4

；b=

5

2

；
（2）若點(diǎn)C恰好落在拋物線上，求點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t；
（3）若在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的同時(shí)，線段OA上另一個(gè)點(diǎn)Q從點(diǎn)A出發(fā)向原點(diǎn)作勻速運(yùn)動(dòng)，速度為每秒2個(gè)單位（當(dāng)點(diǎn)Q到達(dá)原點(diǎn)時(shí)運(yùn)動(dòng)即結(jié)束）．過(guò)點(diǎn)Q做x軸的垂線，與直線AB交于點(diǎn)F延長(zhǎng)QF到點(diǎn)M，使得FM=QF，以QM為斜邊，在QM的左側(cè)作等腰Rt△QMN．求當(dāng)兩個(gè)等腰直角三角形恰好有一條邊落在同一直線上時(shí)對(duì)應(yīng)時(shí)刻t的值．

Answer 1

分析：（1）利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式得出a，b的值即可；
（2）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得出C點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而代入二次函數(shù)解析式求出t的值；
（3）分三種情況討論，①如圖1，PC與MN共線，②如圖2，CD與NQ共線，③如圖3，QM與PD重合時(shí)，分別求出即可．

解答：解：（1）將點(diǎn)A（10，0）和B（2，4），代入解析式得：

100a+10b=0 4a+2b=4

，
解得：

a=- 1 4 b= 5 2

，
∴a=-

1

4

，b=

5

2

，
故答案為：-

1

4

，

5

2

；

（2）∵P（t，0），直線OB表達(dá)式為：y=2x，
∴E（t，2t），
∵DE=PE，以PD為斜邊在直線PD的右側(cè)作等腰Rt△PCD，
∴PD=4t，EC=2t，
∴C點(diǎn)坐標(biāo)為：（3t，2t），
代入拋物線解析式：y=-

1

4

x²+

5

2

x得：
解得：t=

22

9

；

（3）分三種情況討論：
①如圖1，PC與MN共線，∵直線OB表達(dá)式為：y=2x，
可得：AQ=2t時(shí)，QF=t，QM=2t，
可得△PQN為等腰直角三角形，
∴PQ=QM=2t，
∴t+2t+2t=10，
解得：t=2；
②如圖2，CD與NQ共線，
由以上可得出：PD=2PE=4t，
可得△PDQ為等腰直角三角形，
∴PQ=QM=2t，
∴t+4t+2t=10，
解得：t=

10

7

；
③如圖3，QM與PD重合時(shí)：
OP=t，AP=2t，
則t+2t=10，
解得：t=

10

3

．
綜上所述：當(dāng)兩個(gè)等腰直角三角形恰好有一條邊落在同一直線上時(shí)對(duì)應(yīng)時(shí)刻t的值為2或

10

7

或

10

3

．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用以及等腰直角三角形的性質(zhì)，利用分類討論以及數(shù)形結(jié)合得出是解題關(guān)鍵．