Question

在等腰三角形ABC中，∠A、∠B、∠C的對邊分別為a、b、c，已知a=3，b和c是關(guān)于x的方程x²+mx+2-

1

2

m=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，求△ABC的周長．

Answer 1

分析：等腰三角形ABC中a可能是底邊，也可能是腰，應(yīng)分兩種情況進(jìn)行討論，
①當(dāng)a是腰時(shí)，則方程有一個(gè)根是3，代入即可求得m的值，從而求解；
②當(dāng)a是底邊時(shí)，方程有兩個(gè)相等的根，根據(jù)一元二次方程根的情況與判別式△的關(guān)系，從而求得其周長．

解答：解：∵b、c是關(guān)于x的方程x²+mx+2-

1

2

m=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，
∴b+c=-m，bc=2-

1

2

m，
當(dāng)a為其腰時(shí)，則b=a，或c=a，
∴方程必有一個(gè)根為3，
代入方程得：9+3m+2-

1

2

m=0，
解得m=-

22

5

，
則b+c=-m=

22

5

，
則周長是a+b+c=3+

22

5

=

37

5

；
當(dāng)a為其底時(shí)，b=c，原方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，
∴△=m²-4（2-

1

2

m）=0，
∴m₁=-4，m₂=2＞0（舍去），
∵b+c=-m=4＞a，bc=4＞0，
∴m=-4符合題意，
∴a+b+c=3+4=7．
∴△ABC的周長為

37

5

或7．

點(diǎn)評：解答此題要知道一元二次方程根的情況與判別式△的關(guān)系和一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，三角形的三邊關(guān)系：
（1）△＞0?方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；
（2）△=0?方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；
（3）△＜0?方程沒有實(shí)數(shù)根；
（4）x₁+x₂=-

b

a

；
（5）x₁•x₂=

c

a

．
三角形的三邊關(guān)系：兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊．