Question

12．已知：如圖，在△ABC中，AB=AC，DE是過點(diǎn)A的直線，BD⊥DE于點(diǎn)D，CE⊥DE于點(diǎn)E，且AD=CE．
（1）若BC在DE的同側(cè)（如圖①）求證：BA⊥AC．
（2）若BC在DE的兩側(cè)（如圖②），問AB與AC仍垂直嗎？若是請(qǐng)予證明，若不是請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)直角三角形全等的判定方法HL易證得△ABD≌△CAE，可得∠DAB=∠ACE，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可證得結(jié)論；
（2）與（1）同理結(jié)論仍成立．

解答 證明：∵BD⊥DE于D，CE⊥DE于E，
∴∠ADB=∠CEA=90°，
在Rt△ADB和Rt△CEA中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=CA（已知）}\\{AD=CE（已知）}\end{array}\right.$
∴Rt△ABD≌Rt△CAE（HL），
∴∠DAB=∠ACE．
又∵∠ACE+∠CAE=90°，
∴∠DAB+∠CAE=90°
∴∠BAC=90°，
即AB⊥AC；
（2）AB⊥AC
∵BD⊥DE于D，CE⊥DE于E，
∴∠ADB=∠CEA=90°，
在Rt△ADB和Rt△CEA中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=CA（已知）}\\{AD=CE（已知）}\end{array}\right.$
∴Rt△ABD≌Rt△CAE（HL），
∴∠DAB=∠ACE．
又∵∠ACE+∠CAE=90°，
∴∠DAB+∠CAE=90°
∴∠BAC=90°，
即AB⊥AC．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵，屬中檔題．