Question

【題目】如圖，已知四邊形ABCD，AD∥BC．點(diǎn)P在直線CD上運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)P和點(diǎn)C，D不重合，點(diǎn)P，A，B不在同一條直線上），若記∠DAP，∠APB，∠PBC分別為∠α，∠β，∠γ．

（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)P在線段CD上運(yùn)動(dòng)時(shí)，寫出∠α，∠β，∠γ之間的關(guān)系并說出理由；

（2）如圖2，如果點(diǎn)P在線段CD的延長線上運(yùn)動(dòng)，探究∠α，∠β，∠γ之間的關(guān)系，并說明理由．

（3）如圖3，BI平分∠PBC，AI交BI于點(diǎn)I，交BP于點(diǎn)K，且∠PAI：∠DAI=5：1，∠APB=20°，∠I=30°，求∠PAI的度數(shù)．

Answer 1

【答案】（1）∠β=∠α+∠γ． 理由見解析；（2）點(diǎn)P在線段CD的延長線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，∠β=∠γ﹣∠α；點(diǎn)P在線段DC的延長線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，∠β=∠α﹣∠γ；理由見解析；（3）∠PAI=50°．

【解析】

（1）過點(diǎn)P作PE∥AD，如圖1，由PE∥AD得∠α=∠APE，由AD∥BC得PE∥BC，則∠γ=∠BPE，所以∠β=∠APE+∠BPE=∠α+∠γ；

（2）點(diǎn)P在線段CD的延長線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，∠β=∠γ-∠α；點(diǎn)P在線段DC的延長線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，∠β=∠α-∠γ．以點(diǎn)P在線段CD的延長線上運(yùn)動(dòng)為例說明：

如圖2，根據(jù)平行線的性質(zhì)由AD∥BC得∠PBC=∠1，根據(jù)三角形外角性質(zhì)得∠1=∠PAD+∠APB，所以∠APB=∠PBC-∠PAD，即∠β=∠γ-∠α．

（3）根據(jù)題意可設(shè)∠PBI=∠CBI=m，則∠CBP=2m，∠PAI=m+10°，由∠PAI：∠DAI =5：1得∠DAI=m+2°，根據(jù)∠DHP是△APH的外角列出方程求解即可.

（1）∠β=∠α+∠γ．

理由如下：

過點(diǎn)P作PE∥AD，如圖1，

∵PE∥AD，

∴∠α=∠APE，

∵AD∥BC，

∴PE∥BC，

∴∠γ=∠BPE，

∴∠β=∠APE+∠BPE=∠α+∠γ；

（2）點(diǎn)P在線段CD的延長線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，∠β=∠γ﹣∠α；點(diǎn)P在線段DC的延長線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，∠β=∠α﹣∠γ．

以點(diǎn)P在線段CD的延長線上運(yùn)動(dòng)為例說明：

如圖2，

∵AD∥BC，

∴∠PBC=∠1，

而∠1=∠PAD+∠APB，

∴∠APB=∠PBC﹣∠PAD，

即∠β=∠γ﹣∠α．

（3）∵BI平分∠ABC，

∴可設(shè)∠PBI=∠CBI=m，則∠CBP=2m，

∵AD∥BC，

∴∠DHP=∠CBP=2m，

∵∠APB=20°，∠I=30°，∠BKI=∠AKP，

∴∠PAI=m+30°﹣20°=m+10°，

又∵∠PAI：∠DAI =5：1，

∴∠DAI=∠PAI=m+2°，

∵∠DHP是△APH的外角，

∴∠DHP=∠PAH+∠APB，

即2m=m+2°+m+10°+20°，

解得m=40°，

∴∠PAI=40°+10°=50°．