Question

【題目】如圖1，點(diǎn)P.Q分別是邊長(zhǎng)為4cm的等邊△ABC邊AB.BC上的點(diǎn)，點(diǎn)P從頂點(diǎn)A向B出發(fā)，點(diǎn)Q從頂點(diǎn)B同時(shí)出發(fā)向C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，且它們的速度都為1cm/s,

（1）連接AQ.CP交于點(diǎn)M，則在P.Q運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，△ABQ與△CAP全等嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由；

（2）∠CMQ變化嗎？若變化，則說(shuō)明理由，若不變，則求出它的度數(shù).

（3）幾秒后△PBQ是直角三角形？

（4）如圖2，若點(diǎn)P.Q在運(yùn)動(dòng)到終點(diǎn)后繼續(xù)在射線AB.BC上運(yùn)動(dòng)，直線AQ.CP交點(diǎn)為M，則∠CMQ變化嗎？若變化，則說(shuō)明理由，若不變，則求出它的度數(shù).

Answer 1

【答案】（1）△ABQ≌△CAP；（2）∠CMQ=60°不變；（3），當(dāng)?shù)?/span>秒或第秒時(shí)，△PBQ為直角三角形；（4）∠CMQ=120°不變.

【解析】

（1）先根據(jù)全等三角形的判定定理得出△ABQ≌△CAP；

（2）由全等三角形的性質(zhì)可知∠BAQ=∠ACP，故∠CMQ=∠ACP+∠CAM=∠BAQ+∠CAM=∠BAC=60°，故可得出結(jié)論；

（3）設(shè)時(shí)間為t秒，則AP=BQ=tcm，PB=（4﹣t）cm，當(dāng)∠PQB=90°時(shí)，因?yàn)?/span>∠B=60°，所以PB=2BQ，即4﹣t=2t故可得出t的值，當(dāng)∠BPQ=90°時(shí)，同理可得BQ=2BP，即t=2（4﹣t），由此兩種情況即可得出結(jié)論．

(4)由△ABC是等邊三角形，可得AC=BC, ∠ACB=∠ABC=60°可得∠ACQ=∠CBP=120°

可證△ACQ≌△CBP后可∠QAC的度數(shù).

解：（1）△ABQ≌△CAP

理由是：∵△ABC是等邊三角形，

∴AB=AC, ∠B=∠PAC=60°

∵點(diǎn)P.Q同時(shí)出發(fā)，速度相同

∴AP=BQ

在△ABE和△CBD中，

∴△ABQ≌△CAP

（2）∠CMQ=60°不變 ，理由如下：

∵△ABQ≌△CAP

∴∠BAQ=∠ACP

∴ ∠CMQ=∠ACO+∠CAM=∠BAQ+∠CAM=∠BAC=60°

（3）設(shè)時(shí)間為t，則AP=BQ=t，則BP=4-t

①當(dāng)∠PQB=90°時(shí)，∠BPQ=30°

∴ BP=2BQ

∴ 4-t=2t

解得 t=

②當(dāng)∠BPQ=90°時(shí)，∠PQB=30°

∴ BQ=2BP

∴ t=2(4-t)

解得 t=

∴綜上，當(dāng)?shù)?/span>秒或第時(shí)，△PBQ為直角三角形.

（4）∠CMQ=120°不變，理由如下：

∵△ABC是等邊三角形，

∴AC=BC, ∠ACB=∠ABC=60°

∴∠ACQ=∠CBP=120°

在△ACQ和△CBP中，

∴△ACQ≌△CBP

∴∠QAC=∠PCB

∴ ∠CMQ=∠QAC+∠ACM=∠PCB+∠ACM=180°-∠ACB=120°