Question

已知三角形的三條邊的長是三個連續(xù)的正整數(shù)，試討論最小邊長分別取什么值時，這個三角形是直角三角形、鈍角三角形、銳角三角形？

Answer 1

解：設(shè)三個連續(xù)的正整數(shù)n，n+1，n+2為三角形的三邊，當(dāng)且僅當(dāng)n+2＜n+n+1，即n＞1，∴n≥2．
（1）．若所構(gòu)成的三角形是直角三角形，當(dāng)且僅當(dāng)n²+（n+1）²=（n+2）²，即n²-2n-3=0，（n+1）（n-3）=0，∴n=3．…
（2）．若所構(gòu)成的三角形是鈍角三角形，當(dāng)且僅當(dāng)n²+（n+1）²＜（n+2）²，即n²-2n-3＜0，（n+1）（n-3）＜0，∴n＜3，又n≥2，∴n=2．…
（3）．若所構(gòu)成的三角形是銳角三角形，當(dāng)且僅當(dāng)n²+（n+1）²＞（n+2）²，即n²-2n-3＞0，（n+1）（n-3）＞0，∴n＞3，又n≥4，∴n=4．…
綜上所述，當(dāng)n=2時三邊為2、3、4，構(gòu)成鈍角三角形；當(dāng)n=3時三邊為3、4、5，構(gòu)成直角三角形；當(dāng)n=4時三邊為4、5、6，構(gòu)成銳角三角形．…
分析：若為直角三角形，那么兩個較小邊的平方和等于最大邊的平方；
若為鈍角三角形，那么兩個較小邊的平方和小于最大邊的平方；
若為銳角三角形，那么兩個較小邊的平方和大于最大邊的平方，進(jìn)而根據(jù)最小邊的取值可得相應(yīng)的最小值．
點(diǎn)評：考查勾股定理的應(yīng)用；根據(jù)直角三角形中勾股定理的應(yīng)用判斷出鈍角三角形，銳角三角形三邊的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．