Question

已知拋物線y=ax²+bx+c與y軸的交點為C，頂點為M，直線CM的解析式y(tǒng)=-x+2并且線段CM的長為2

2

，
（1）求拋物線的解析式．
（2）設(shè)拋物線與x軸有兩個交點A（x₁，0）、B（x₂，0），且點A在B的左側(cè)，求線段AB的長．

Answer 1

（1）令x=0，則y=2，
所以，點C（0，2），
∵點M在直線y=-x+2上，
∴設(shè)點M的坐標(biāo)為M（x，-x+2），
由勾股定理得CM=

x2+(-x+2-2)2

=2

2

，
整理得，x²=4，
解得x₁=2，x₂=-2，
當(dāng)x₁=2時，y₁=-2+2=0，
當(dāng)x₂=-2，y₂=-（-2）+2=4
∴M（-2，4）或M（2，0），
當(dāng)M（-2，4）時，設(shè)拋物線解析式為y=a（x+2）²+4，
∵拋物線過點C（0，2），
∴a（0+2）²+4=2，
解得a=-

1

2

，
∴y=-

1

2

x²-2x+2，
當(dāng)M（2，0）時，設(shè)拋物線解析式為y=a（x-2）²，
∵拋物線過點C（0，2）點，
∴a（0-2）²=2，
解得a=

1

2

，
∴y=

1

2

x²-2x+2，
∴所求拋物線為：y=-

1

2

x²-2x+2或y=

1

2

x²-2x+2；

（2）∵拋物線與x軸有兩個交點，
∴y=

1

2

x²-2x+2不合題意，舍去．
∴拋物線應(yīng)為：y=-

1

2

x²-2x+2，
令y=0，則-

1

2

x²-2x+2=0，
整理得，x²+4x-4=0，
解得x₁=-2+2

2

，x₂=-2-2

2

，
∵點A在B的左側(cè)，
∴點A（-2-2

2

，0），B（-2+2

2

，0），
∴AB=（-2+2

2

）-（-2-2

2

）=4

2

．