Question

在△ABC與△BDE中，∠ABC=∠BDE=90°，BC=DE，AC=BE，M、N分別為AB、BD中點(diǎn)．連接MN交CE于點(diǎn)K．
（1）如圖1．當(dāng)C、B、D共線，AB=2BC時(shí)，探索CK與EK之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；
（2）如圖2，當(dāng)C、B、D不共線，且AB≠2BC時(shí)，（1）中的結(jié)論是否成立，若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）將題中的條件“∠ABC=∠BDE=90°，BC=DE，AC=BE”都去掉，再添加一個(gè)條件，寫出一個(gè)類似的對(duì)一般三角形都成立的問(wèn)題．（畫出圖形，寫出已知和結(jié)論，不用證明）

Answer 1

分析：（1）連接CM、BN，由已知易證得△ABC≌△BDE，可得到AB=BD；再通過(guò)證明△BCM≌△DEN，得CN=NE；接下來(lái)易證得△CMK≌△ENK，即可得CK=EK．
（2）過(guò)C、E分別作直線MK的垂線段，垂足分別為P、Q，首先證明△CMP≌△ENQ，可得PC=QE，然后易證明△CPQ≌△EQK，即得CK=EK．
（3）據(jù)題意，畫出圖形即可．

解答：解：（1）CK=EK；
證明：∵BC=DE，AC=BE，∠ABC=∠BDE=90°，
∴△ABC≌△BDE，
∴AB=BD；（1分）
∵M(jìn)、N分別為AB、BD中點(diǎn)，AB=2BC，
∴BM=AM=BC=

1

2

AB=

1

2

BD=DN=BN，
∴∠BMN=∠BNM=∠DNE=∠BMC=45°，
∴∠CMN=∠MNE=90°，
連接CM、EN，
則△BCM≌△DEN，
∴CM=NE，又∠CKM=∠EKN，
∴△CMK≌△ENK，
∴CK=EK；

（2）CK=EK；
過(guò)C、E分別作直線MK的垂線段，垂足分別為P、Q，
由（1）知△ABC≌△BDE，△BCM≌△DEN，
∴BM=BN，CM=NE，∠DNE=∠CMB，
∴∠BNM=∠BMN，
∴180°-∠BNM-∠DNE=180°-∠BMN-∠CMB，
即∠CMP=∠ENQ，
又∵∠CPM=∠NQE=90°，CM=EN，
∴△CMP≌△ENQ，
∴PC=QE，
∵∠CPQ=∠EQP=90°，∠EKQ=∠CKP，
∴△CPK≌△EQK，
∴CK=KE；

（3）如圖，△ABC≌△BDE，M、N分別為AB、DB中點(diǎn)，直線MN交CE于K．
結(jié)論：CK=EK．

點(diǎn)評(píng)：三角形全等的判定是中考的熱點(diǎn)，一般以考查三角形全等的方法為主，判定兩個(gè)三角形全等，先根據(jù)已知條件或求證的結(jié)論確定三角形，然后再根據(jù)三角形全等的判定方法，看缺什么條件，再去證什么條件．解答此題的關(guān)鍵在于正確作出輔助線．