Question

（2012•巴中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A、C分別在x軸、y軸上，四邊形ABCO為矩形，AB=16，點(diǎn)D與點(diǎn)A關(guān)于y軸對(duì)稱，tan∠ACB=

4

3

．點(diǎn)E、F分別是線段AD、AC上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)E不與A、D點(diǎn)重合），且∠CEF=∠ACB．
（1）求AC的長(zhǎng)與點(diǎn)D的坐標(biāo)．
（2）說(shuō)明△AEF與△DCE相似．
（3）當(dāng)△EFC為等腰三角形時(shí)，求點(diǎn)E的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）利用矩形的性質(zhì)，在Rt△ABC中，利用三角函數(shù)求出AC、BC的長(zhǎng)度，從而得到A點(diǎn)坐標(biāo)；由點(diǎn)D與點(diǎn)A關(guān)于y軸對(duì)稱，進(jìn)而得到D點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）欲證△AEF與△DCE相似，只需要證明兩個(gè)對(duì)應(yīng)角相等即可．如圖①，在△AEF與△DCE中，易知∠CDE=∠CAO，∠AEF=∠DCE，從而問(wèn)題解決；
（3）當(dāng)△EFC為等腰三角形時(shí)，有三種情況，需要分類討論：
①當(dāng)CE=EF時(shí)，此時(shí)△AEF與△DCE相似比為1，則有AE=CD；
②當(dāng)EF=FC時(shí)，此時(shí)△AEF與△DCE相似比為

6

5

，則有AE=

5

6

CD；
③當(dāng)CE=CF時(shí)，F(xiàn)點(diǎn)與A點(diǎn)重合，這與已知條件矛盾，故此種情況不存在．

解答：解：（1）由題意tan∠ACB=

4

3

，∴cos∠ACB=

3

5

．
∵四邊形ABCO為矩形，AB=16，
∴BC=

AB

tan∠ACB

=12，AC=

BC

cos∠ACB

=20，
∴A點(diǎn)坐標(biāo)為（-12，0），
∵點(diǎn)D與點(diǎn)A關(guān)于y軸對(duì)稱，
∴D（12，0）．

（2）點(diǎn)D與點(diǎn)A關(guān)于y軸對(duì)稱，∴∠CDE=∠CAO，
∵∠CEF=∠ACB，∠ACB=∠CAO，
∴∠CDE=∠CEF，
又∵∠AEC=∠AEF+∠CEF=∠CDE+∠DCE（三角形外角性質(zhì)）
∴∠AEF=∠DCE．
則在△AEF與△DCE中，∠CDE=∠CAO，∠AEF=∠DCE，
∴△AEF∽△DCE．

（3）當(dāng)△EFC為等腰三角形時(shí)，有以下三種情況：
①當(dāng)CE=EF時(shí)，
∵△AEF∽△DCE，
∴△AEF≌△DCE
∴AE=CD=20，
∴OE=AE-OA=20-12=8，
∴E（8，0）；
②當(dāng)EF=FC時(shí)，如圖②所示，過(guò)點(diǎn)F作FM⊥CE于M，則點(diǎn)M為CE中點(diǎn)，
∴CE=2ME=2EF•cos∠CEF=2EF•cos∠ACB=

6

5

EF．
∵△AEF∽△DCE，
∴

EF

CE

=

AE

CD

，即

EF

6 5 EF

=

AE

20

，解得AE=

50

3

，
∴OE=AE-OA=

50

3

-12=

14

3

，
∴E（

14

3

，0）；
③當(dāng)CE=CF時(shí)，則有∠CFE=∠CEF，
∵∠CEF=∠ACB=∠CAO，
∴∠CFE=∠CAO，即此時(shí)E點(diǎn)與D點(diǎn)重合，這與已知條件矛盾．
綜上所述，當(dāng)△EFC為等腰三角形時(shí)，點(diǎn)E的坐標(biāo)為（8，0）或（

14

3

，0）．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了矩形、等腰三角形、直角三角形等平面幾何圖形在坐標(biāo)平面內(nèi)的性質(zhì)與變換，相似三角形的判定與性質(zhì)應(yīng)用是其核心．難點(diǎn)在于第（3）問(wèn)，當(dāng)△EFC為等腰三角形時(shí)，有三種情況，需要分類討論，注意不要漏解．