Question

如圖已知△ABC中，AB=AC，∠ABD=60°，且∠ADB=90°-

1

2

∠BDC，求證：AB=BD+DC．

Answer 1

分析：延長BD至E，使DE=DC，連接CE，AE，得出∠DCE=∠DEC=

1

2

∠BDC，由∠ADE=360°-∠ADB-∠BDC-∠CDE，證出∠ADE=∠ADC，推出△ADC≌△ADE，得到AC=AE=AB，根據等邊三角形的判定和性質推出AB=BE，即可推出答案．

解答：證明：延長BD至E，使DE=DC，連接CE，AE，
∴∠DCE=∠DEC=

1

2

∠BDC，
∴∠ADE=360°-∠ADB-∠BDC-∠CDE=360°-（90°-

1

2

∠BDC）-∠BDC-（180°-∠BDC）
=90°+

1

2

∠BDC，
∵∠ADC=∠ADB+∠BDC=90°-

1

2

∠BDC+∠BDC，
∴∠ADE=∠ADC，
∵AD=AD，
∴△ADC≌△ADE，
∴AC=AE=AB，
由于∠ABD=60°，
∴△ABE為等邊三角形，
∴AB=BE=BD+DE=BD+CD，
即：AB=BD+DC．

點評：本題主要考查對等邊三角形的性質和判定，等腰三角形的性質和判定，全等三角形的性質和判定，四邊形的內角和定理等知識點的理解和掌握，正確作輔助線并利用性質進行推理是解此題的關鍵．