Question

【題目】已知四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為4的正方形，以AB為直徑在正方形內(nèi)作半圓，P是半圓上的動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A、B重合），連接PA、PB、PC、PD．
（1）如圖①，當(dāng)PA的長(zhǎng)度等于時(shí)，∠PAD=60°；當(dāng)PA的長(zhǎng)度等于時(shí)，△PAD是等腰三角形；
（2）如圖②，以AB邊所在直線為x軸、AD邊所在直線為y軸，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系（點(diǎn)A即為原點(diǎn)O），把△PAD、△PAB、△PBC的面積分別記為S1、S2、S3 ． 設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（a，b），試求2S1S3﹣S22的最大值，并求出此時(shí)a、b的值．

Answer 1

【答案】
（1）2 ；2 或
（2）解：過(guò)點(diǎn)P分別作PE⊥AB，PF⊥AD，垂足分別為E，F(xiàn)延長(zhǎng)FP交BC于點(diǎn)G，

則PG⊥BC，

∵P點(diǎn)坐標(biāo)為（a，b），

∴PE=b，PF=a，PG=4﹣a，

在△PAD，△PAB及△PBC中，

S1=2a，S2=2b，S3=8﹣2a，

∵AB為直徑，

∴∠APB=90°，

∴PE2=AEBE，

即b2=a（4﹣a），

∴2S1S3﹣S22=4a（8﹣2a）﹣4b2=﹣4a2+16a=﹣4（a﹣2）2+16，

∴當(dāng)a=2時(shí)，b=2，2S1S3﹣S22有最大值16

【解析】解：（1）若∠PAD=60°，需∠PAB=30°， ∵AB是直徑，
∴∠APB=90°，
則在Rt△PAB中，PA=cos30°AB=2 ，
∴當(dāng)PA的長(zhǎng)度等于2 時(shí)，∠PAD=60°；
若△PAD是等腰三角形，當(dāng)PA=PD時(shí)，
此時(shí)P位于四邊形ABCD的中心，
過(guò)點(diǎn)P作PE⊥AD于E，作PM⊥AB于M，
則四邊形EAMP是正方形，
∴PM=PE= AB=2，
∵PM2=AMBM=4，
∵AM+BM=4，
∴AM=2，
∴PA=2 ，
當(dāng)PD=DA時(shí)，以點(diǎn)D為圓心，DA為半徑作圓與弧AB的交點(diǎn)為點(diǎn)P．
連PD，令A(yù)B中點(diǎn)為O，再連DO，PO，DO交AP于點(diǎn)G，
則△ADO≌△PDO，
∴DO⊥AP，AG=PG，
∴AP=2AG，
又∵DA=2AO，∠ADG=∠GAO，
∴ = = ，
∴AG=2OG，
設(shè)AG為2x，OG為x，
∴（2x）2+x2=4，
∴x=
∴AG=2x= ，
∴AP=
∴當(dāng)PA的長(zhǎng)度等于2 或 時(shí)，△PAD是等腰三角形；


【考點(diǎn)精析】通過(guò)靈活運(yùn)用二次函數(shù)的最值和正方形的性質(zhì)，掌握如果自變量的取值范圍是全體實(shí)數(shù)，那么函數(shù)在頂點(diǎn)處取得最大值（或最小值），即當(dāng)x=-b/2a時(shí)，y最值=(4ac-b2)/4a；正方形四個(gè)角都是直角，四條邊都相等；正方形的兩條對(duì)角線相等，并且互相垂直平分，每條對(duì)角線平分一組對(duì)角；正方形的一條對(duì)角線把正方形分成兩個(gè)全等的等腰直角三角形；正方形的對(duì)角線與邊的夾角是45o；正方形的兩條對(duì)角線把這個(gè)正方形分成四個(gè)全等的等腰直角三角形即可以解答此題．