Question

【題目】如圖，將矩形ABCD沿AF折疊，使點(diǎn)D落在BC邊的點(diǎn)E處，過(guò)點(diǎn)E作EG∥CD交AF于點(diǎn)G，連接DG．

（1）求證：四邊形EFDG是菱形；

（2）試證明EG2＝GFAF．

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析．

【解析】

（1）先依據(jù)翻折的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)證明∠DGF=∠DFG，從而得到GD=DF，接下來(lái)依據(jù)翻折的性質(zhì)可證明DG=GE=DF=EF；
（2）連接DE，交AF于點(diǎn)O．由菱形的性質(zhì)可知GF⊥DE，OG=OF=GF，接下來(lái)，證明△DOF∽△ADF，由相似三角形的性質(zhì)可證明DF2=FOAF，于是可得到GE、AF、FG的數(shù)量關(guān)系．

（1）證明：∵GE∥DF，

∴∠EGF＝∠DFG．

∵由翻折的性質(zhì)可知：GD＝GE，DF＝EF，∠DGF＝∠EGF，

∴∠DGF＝∠DFG．

∴GD＝DF．

∴DG＝GE＝DF＝EF．

∴四邊形EFDG為菱形．

（2）解：如圖所示：連接DE，交AF于點(diǎn)O．

∵四邊形EFDG為菱形，

∴GF⊥DE，OG＝OF＝GF．

∵∠DOF＝∠ADF＝90°，∠OFD＝∠DFA，

∴△DOF∽△ADF．

∴，即DF2＝FOAF．

∵FO＝GF，DF＝EG，

∴EG2＝GFAF．