Question

【題目】如圖，一元二次方程x2+2x﹣3=0的兩根x1，x2（x1＜x2）是拋物線y=ax2+bx+c與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)C，B的橫坐標(biāo)，且此拋物線過點(diǎn)A（3，6）．

（1）求此二次函數(shù)的解析式；

（2）設(shè)此拋物線的頂點(diǎn)為P，對(duì)稱軸與線段AC相交于點(diǎn)G，則P點(diǎn)坐標(biāo)為　 　，G點(diǎn)坐標(biāo)為　 　；

（3）在x軸上有一動(dòng)點(diǎn)M，當(dāng)MG+MA取得最小值時(shí)，求點(diǎn)M的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）拋物線解析式為y=x2+x﹣；（2）拋物線頂點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣1，﹣2），G點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣1，2）；（3）M點(diǎn)坐標(biāo)為（0，0）

【解析】

（1）可先根據(jù)一元二次方程求出x1，x2的坐標(biāo)，也就求出了B，C兩點(diǎn)的坐標(biāo)，然后可用交點(diǎn)式的二次函數(shù)通式來設(shè)二次函數(shù)的解析式，根據(jù)已知的A點(diǎn)的坐標(biāo)求出二次函數(shù)的解析式．
（2）根據(jù)（1）二次函數(shù)解析式可得出頂點(diǎn)P的坐標(biāo)和對(duì)稱軸的解析式，G點(diǎn)就是直線AC與拋物線對(duì)稱軸的交點(diǎn)，可先根據(jù)A，C的坐標(biāo)，用待定系數(shù)法求出AC所在直線的解析式，然后將P點(diǎn)的橫坐標(biāo)代入求得的一次函數(shù)的解析式中即可求出G的坐標(biāo)．
（3）本題的關(guān)鍵是先確定M點(diǎn)的位置，可先做A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)A′然后連接A′C，與x軸的交點(diǎn)就是點(diǎn)M，那么可根據(jù)A′，C兩點(diǎn)的坐標(biāo)求出A′C所在直線的解析式，又已知了M在x軸上即可求出M點(diǎn)的坐標(biāo)．

解：（1）解方程x2+2x﹣3=0

得x1=﹣3，x2=1．

∴拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為：C（﹣3，0），B（1，0），

設(shè)拋物線的解析式為y=a（x+3）（x﹣1）．

∵A（3，6）在拋物線上，

∴6=a（3+3）（3﹣1），

∴a=，

∴拋物線解析式為y=x2+x﹣．

（2）由y=x2+x﹣=（x+1）2﹣2，

∴拋物線頂點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣1，﹣2），對(duì)稱軸方程為x=﹣1．

設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b，

∵A（3，6），C（﹣3，0）在該直線上，

∴ ,

解得：k=1,b=3,

∴直線AC的解析式為：y=x+3．

將x=﹣1代入y=x+3

得y=2，

∴G點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣1，2）．

（3）作A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)A′（3，﹣6），

連接A′G，A′G與x軸交于點(diǎn)M即為所求的點(diǎn)．

設(shè)直線A′G的解析式為y=kx+b．

∴ ，解得： ，

∴直線A′G的解析式為y=﹣2x，令x=0，則y=0．

∴M點(diǎn)坐標(biāo)為（0，0）．