Question

如圖，已知：C是以AB為直徑的半圓O上一點(diǎn)，CH⊥AB于點(diǎn)H，直線AC與過B點(diǎn)的切線相交于點(diǎn)D，E為CH中點(diǎn)，連接AE并延長(zhǎng)交BD于點(diǎn)F，直線CF交直線AB于點(diǎn)G．
（1）求證：點(diǎn)F是BD中點(diǎn)；
（2）求證：CG是⊙O的切線；
（3）若FB=FE=2，求⊙O的半徑．

Answer 1

分析：（1）易得△AEH∽△AFB，△ACE∽△ADF；進(jìn)而可得比例關(guān)系式，再根據(jù)其中的相等關(guān)系可得BF=FD，即點(diǎn)F是BD中點(diǎn)；
（2）連接CB、OC，根據(jù)角的關(guān)系易得∠BCF=∠CBF=90°-∠CBA=∠CAB=∠ACO，進(jìn)而可得∠OCF=90°，故可得CG是⊙O的切線；
（3）根據(jù)切割線定理可得：（2+FG）²=BG×AG=2BG²，由勾股定理得：BG²=FG²-BF²，解之即可得答案．

解答：（1）證明：∵CH⊥AB，DB⊥AB，
∴△AEH∽△AFB，△ACE∽△ADF；（1分）
∴

EH

BF

=

AE

AF

=

CE

FD

．
∵HE=EC，
∴BF=FD，即點(diǎn)F是BD中點(diǎn)．

（2）證明：連接CB、OC；
∵AB是直徑，
∴∠ACB=90°．
∵F是BD中點(diǎn)，
∴∠BCF=∠CBF=90°-∠CBA=∠CAB=∠ACO．
∴∠OCF=90°，
又∵OC為圓O半徑，
∴CG是⊙O的切線．（6分）

（3）解：∵FC=FB=FE，
∴∠FCE=∠FEC．（7分）
∵∠FEC=∠AEH，
∴∠FCE=∠AEH，
∵∠G+∠FCE=90°，∠FAB+∠AEH=90°，
∴∠G=∠FAB，
∴FA=FG，
∵FB⊥AG，
∴AB=BG．（8分）
∵（2+FG）²=BG×AG=2BG²①
BG²=FG²-BF²②
由①、②得：FG²-4FG-12=0
∴FG₁=6，F(xiàn)G₂=-2（舍去）
∴AB=BG=4

2

．
∴⊙O半徑為2

2

．（10分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查切線的判定，線段等分關(guān)系的證明及線段長(zhǎng)度的求法，要求學(xué)生掌握常見的解題方法，并能結(jié)合圖形選擇簡(jiǎn)單的方法解題．