Question

當(dāng)拋物線y=ax²+bx+c與x軸兩交點(diǎn)及拋物線上一點(diǎn)P組成以P為直角頂點(diǎn)的直角三角形時(shí)，則點(diǎn)P的坐標(biāo)（ ）
A．只與a有關(guān)
B．只與b有關(guān)
C．只與c有關(guān)
D．與a、b、c均有關(guān)

Answer 1

【答案】分析：設(shè)拋物線y=ax²+bx+c與x軸的交點(diǎn)A（x₁，0），B（x₂，0），拋物線上一點(diǎn)P（x，y）．先由韋達(dá)定理得出x₁+x₂=-，x₁•x₂=．再過P作PM⊥x軸于M，易證△APM∽△PBM，根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例得出PM²=BM×AM，即y²=（x₂-x）•（x-x₁），然后由點(diǎn)P是拋物線y=ax²+bx+c上的一點(diǎn)，將y=ax²+bx+c代入，整理后得出y=-，x=，即可判斷．
解答：解：設(shè)拋物線y=ax²+bx+c與x軸的交點(diǎn)A（x₁，0），B（x₂，0），拋物線上一點(diǎn)P（x，y）．
∵點(diǎn)A、B是拋物線y=ax²+bx+c與x軸交點(diǎn)，
∴x₁，x₂是方程ax²+bx+c=0的兩個(gè)根，則由韋達(dá)定理x₁+x₂=-，x₁•x₂=．
過P作PM⊥x軸于M，
∵A（x₁，0），B（x₂，0），P（x，y），
∴PM=|y|，BM=x₂-x，AM=x-x₁．
∵在△PAB中，∠APB=90°，PM⊥AB，
∴∠PMA=∠PMB=90°，
∴∠PAB+∠PBA=90°，∠PBA+∠BPM=90°，
∴∠BPM=∠PAB，
∴△APM∽△PBM，
∴=，
∴PM²=BM×AM，
∴y²=（x₂-x）•（x-x₁），
整理得：x²-（x₁+x₂）x+x₁•x₂+y²=x²+•x++y²=0，
即x²+•x++y²=0，
兩邊同時(shí)乘以a，得ax²+b•x+c+ay²=0，
∵點(diǎn)P是拋物線y=ax²+bx+c上的一點(diǎn)，
所以y=ax²+bx+c，
∴將其代入ax²+b•x+c+ay²=0，得
y+ay²=0，
即y•（1+ay）=0．
∵點(diǎn)P不與點(diǎn)A、B重合，
∴y≠0，
∴y=-，
∴x=．
故選D．
點(diǎn)評：本題考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)，相似三角形的判定與性質(zhì)，韋達(dá)定理，解一元二次方程，難度較大．