Question

【題目】如圖，已知拋物線y=ax2+bx+c與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為A（3，0），與y軸的交點(diǎn)為B（0，3），其頂點(diǎn)為C，對(duì)稱軸為x=1．

（1）求拋物線的解析式；
（2）已知點(diǎn)M為y軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△ABM為等腰三角形時(shí)，求點(diǎn)M的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意得：

，

解該方程組得：a=﹣1，b=2，c=3，

∴拋物線的解析式為y=﹣x2+2x+3

（2）解：由題意得：OA=3，OB=3；

由勾股定理得：AB2=32+32，

∴AB=3 ．

當(dāng)△ABM為等腰三角形時(shí)，

①若AB為底，

∵OA=OB，

∴此時(shí)點(diǎn)O即為所求的點(diǎn)M，

故點(diǎn)M的坐標(biāo)為M（0，0）；

②若AB為腰，

以點(diǎn)B為圓心，以3 長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交y軸于兩點(diǎn)，

此時(shí)兩點(diǎn)坐標(biāo)為M（0，3﹣3 ）或M（0，3+3 ），

以點(diǎn)A為圓心，以3 長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交y軸于點(diǎn)（0，﹣3）；

綜上所述，當(dāng)△ABM為等腰三角形時(shí)，點(diǎn)M的坐標(biāo)分別為

（0，0）、（0，3﹣3 ）、（0，3 +3）、（0，﹣3）．

【解析】（1）直接根據(jù)題意列出關(guān)于a、b、c的方程組，解方程組即可解決問(wèn)題．（2）運(yùn)用分類討論的數(shù)學(xué)思想，根據(jù)等腰三角形的定義，分類討論，數(shù)形結(jié)合，即可解決問(wèn)題．
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件，利用拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)的相關(guān)知識(shí)可以得到問(wèn)題的答案，需要掌握一元二次方程的解是其對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)的圖像與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)．因此一元二次方程中的b2-4ac，在二次函數(shù)中表示圖像與x軸是否有交點(diǎn)．當(dāng)b2-4ac>0時(shí)，圖像與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)b2-4ac=0時(shí)，圖像與x軸有一個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)b2-4ac<0時(shí)，圖像與x軸沒(méi)有交點(diǎn)．