Question

在△ABC中，∠C=90°，∠ABC的平分線與∠ACB的平分線相交于點(diǎn)O，OD⊥BC與點(diǎn)D，當(dāng)BC=AC時(shí)，如圖①易證：AC+BC-AB=2DO．

（1）當(dāng)BC≠AC時(shí)，如圖②，線段AC、BC、AB、OD之間有怎樣的等量關(guān)系，寫出你的猜想并給與證明；
（2）當(dāng)BC≠AC時(shí)，∠ABC的外角平分線與∠ACB的平分線相交于點(diǎn)O，OD⊥BC與點(diǎn)D，如圖③線段AC、BC、AB、OD之間有怎樣的等量關(guān)系寫出你的猜想，不需證明．

Answer 1

【答案】分析：（1）應(yīng)猜測和所給結(jié)論是相同的．作角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離來構(gòu)造全等三角形把所求各邊進(jìn)行轉(zhuǎn)移．
（2）輔助線方法和證明方法如（1），但AC+BC很明顯將小于2DO，那么應(yīng)是加上AB后等于2DO．
解答：解：（1）AC+BC-AB=2OD．（2分）
如圖：過點(diǎn)O分別做OE⊥AC于E，OF⊥AB于F，連接OA，則∠OAF=∠OAE，
∵∠OBD=∠OBF，∠OCD=∠OCE，
∴OD=OE=OF，
∴△OBD≌△OBF（SAS），△OEA≌△OFA（SAS），
∴BD=BF，（1分）
AE=AF，（1分）
∵∠ACB=∠ODC=∠OEC=90°，
∴四邊形ODCE是矩形，
又∵OD=OE，
∴四邊形ODCE是正方形，
∴CD=CE=OD，（1分）
∴AC+BC-AB=AE+CE+BD+CD-（BD+BF）=AF+OD+BF+OD-BF-AF=2OD． （1分）

（2）AC+BC+AB=2DO．
點(diǎn)評：此題運(yùn)用到一常識：有角平分線的時(shí)，作角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離是常用輔助線作法，需注意同一類型題的轉(zhuǎn)換證明方法和過程基本一致．