Question

如圖，對(duì)稱軸為直線的拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（6，0）和B（0，4）（1）求拋物線的解析式及頂點(diǎn)坐標(biāo)；（2）設(shè)點(diǎn)E（x,y）是拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，且位于第四象限，四邊形OEAF是以O(shè)A為對(duì)角線的平行四邊形，求□OEAF的面積S與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出自變量x的取值范圍；①當(dāng)□OEAF的面積為24時(shí)，請(qǐng)判斷□OEAF是否為菱形？②是否存在點(diǎn)E，使□OEAF為正方形？若存在，求出點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。

Answer 1

．解：（1）由拋物線的對(duì)稱軸是可設(shè)解析式為

把A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)代入上式，得

    解之得

所以拋物線的解析式為 

頂點(diǎn)為

（2）∵點(diǎn)E（x，y）在拋物線上，位于第四象限，且坐標(biāo)適合，

∴y<0, 即-y>0, -y表示點(diǎn)E到OA的距離。

∵OA是□OEAF的對(duì)角線，

∴S=2S_△OAE=2××OA·∣y∣=-6y

      =

因?yàn)閽佄锞�與軸的兩個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)是(1,0)和(6,0)，所以，自變量x的取值范圍是1<x<6

    ①根據(jù)題意，當(dāng)S=24時(shí)，即②=24，解得：

故所求的點(diǎn)E的坐標(biāo)有兩個(gè)，分別為（3，-4）和(4,-4)

點(diǎn)（3，-4）滿足OE=OA，∴□OEAF是菱形；

點(diǎn)（4，-4）不滿足OE=OA，所以□OEAF不是菱形

②當(dāng)OA⊥EF，且OA=EF時(shí)，□OEAF是正方形，此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)只能是（3，-3）而坐標(biāo)（3，-3）的點(diǎn)不在拋物線上，故不存在這樣的點(diǎn)E，使□OEAF為正方形。