Question

【題目】如圖，在半徑為5的⊙O中，弦AB=6，P是弦AB所對(duì)的優(yōu)弧上的動(dòng)點(diǎn)，連接AP，過(guò)點(diǎn)A作AP的垂線交射線PB于點(diǎn)C，當(dāng)△PAB是等腰三角形時(shí)，線段BC的長(zhǎng)為____．

Answer 1

【答案】6或或

【解析】

由于本題的等腰三角形的底和腰不確定，分三種情況討論：

①當(dāng)BA=BP時(shí)，利用直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半；

②當(dāng)AB=AP時(shí)，連接AO交PB于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)O作OE⊥AB于點(diǎn)E，易得△AOE∽△ABD，利用相似三角形的性質(zhì)求得BD，PB，然后利用相似三角形的判定定理△ABD∽△CPA，代入數(shù)據(jù)得出結(jié)果；

③當(dāng)PA=PB時(shí)，連接PO并延長(zhǎng)，交AB于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)C作CG⊥AB，交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，連接OB，則PF⊥AB，易得AF=FB=3，利用勾股定理得OF=4，FP=9，易得△PFB∽△CGB，利用相似三角形的性質(zhì)可求出CG：BG的值，設(shè)BG=t，則CG=3t，利用相似三角形的判定定理得△APF∽△CAG，利用相似三角形的性質(zhì)得比例關(guān)系解得t，在Rt△BCG中，由勾股定理得出BC的長(zhǎng)．

①當(dāng)BA=BP時(shí)，

則AB=BP=BC=6，即線段BC的長(zhǎng)為6；

②當(dāng)AB=AP時(shí)，如圖1，連接AO交PB于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)O作OE⊥AB于點(diǎn)E，則AD⊥PB，AE=AB=3，

∴BD=DP，

在Rt△AEO中，AE=3，AO=5，

∴OE==4，

∵∠OAE=∠BAD，∠AEO=∠ADB=90°，

∴△AOE∽△ABD，

∴，即，

∴BD=，

∴BD=PD=，即PB=，

∵AB=AP=6，

∴∠ABD=∠APC，

∵∠PAC=∠ADB=90°，

∴△ABD∽△CPA，

∴，即，

∴CP=，

∴BC=BP-CP=-=；

③當(dāng)PA=PB時(shí)，

如圖2，連接PO并延長(zhǎng)，交AB于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)C作CG⊥AB，交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，連接OB，則PF⊥AB，

∴AF=FB=3，

在Rt△OFB中，OB=5，FB=3，∴OF=4，

∴FP=9，

∵∠PAF=∠ABP=∠CBG，∠AFP=∠CGB=90°，

∴△PFB∽△CGB，

∴，

設(shè)BG=t，則CG=3t，

∵∠PAF=∠ACG，∠AFP=∠AGC=90°，

∴△APF∽△CAG，

∴，

∴，

解得t=，

∴BG=，CG=，

在Rt△BCG中，BC=，

綜上所述，當(dāng)△PAB是等腰三角形時(shí)，線段BC的長(zhǎng)為6或或；

故答案為：6或或．