Question

一次函數(shù)y=（k-

2

3

）x-3k+10（k為偶數(shù)）的圖象經(jīng)過第一、二、三象限，與x軸、y軸分別交于A、B兩點(diǎn)，過點(diǎn)B作一直線與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為2，交x軸于點(diǎn)C．
（1）求該一次函數(shù)的解析式；
（2）若一開口向上的拋物線經(jīng)過點(diǎn)A、B、C三點(diǎn)，求此拋物線的解析式；
（3）過（2）中的A、B、C三點(diǎn)作△ABC，求tan∠ABC的值．

Answer 1

分析：（1）求該一次函數(shù)y=（k-

2

3

）x-3k+10（k為偶數(shù)）的解析式，需求出k的值，根據(jù)圖象經(jīng)過第一、二、三象限，得到k的取值范圍，確定k的值，得到一次函數(shù)的解析式為y=

4

3

x+4．
（2）求拋物線的解析式，可用待定系數(shù)法，需要求出A，B，C三點(diǎn)的坐標(biāo)，
先根據(jù)一次函數(shù)的解析式求出A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，再由S_△BOC=2，求出C點(diǎn)坐標(biāo)．
（3）要求tan∠ABC的值，根據(jù)正切函數(shù)的定義，構(gòu)造一個以∠ABC為內(nèi)角的直角三角形，過C作CD⊥AB于D，則tan∠ABC=

DC

BD

．由于已知A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)，可根據(jù)三角函數(shù)的定義分別求出DC，AD的值，再算出BD的值．

解答：解：（1）由題意得：

k- 2 3 ＞0 -3k+10＞0

，
解得，

2

3

＜k＜

10

3

，
又∵k為偶數(shù)，
∴k=2，
∴一次函數(shù)的解析式為y=

4

3

x+4．

（2）求得A（-3，0）、B（0，4），
∴OB=4，
∵S_△BOC=

1

2

•OB•OC=2•OC=2，
∴OC=1，
∴C（1，0）或（-1，0）．
若取C（1，0）、A（-3，0）、B（0，4），設(shè)y=a（x+3）（x-1），
將B（0，4）代入，
解得a=-

4

3

＜0（舍去），
若取C（-1，0）、A（-3，0）、B（0，4），
設(shè)y=a（x+3）（x+1），將B（0，4）代入，
求得a=

4

3

，
∴拋物線為y=

4

3

x²+

16

3

x+4．

（3）如圖，過C作CD⊥AB于D，則tan∠ABC=

DC

BD

，
∵sin∠BAO=

OB

AB

=

CD

AC

，cos∠BAO=

AO

AB

=

AD

AC

，
∴

CD

AC

=

4

5

，DC=

8

5

，

AD

AC

=

3

5

，AD=

6

5

，
∴BD=

19

5

，
∴tan∠ABC=

8

19

．

點(diǎn)評：本題主要考查一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，三角函數(shù)等知識．當(dāng)已知三點(diǎn)的坐標(biāo)，求拋物線的解析式時，可設(shè)三點(diǎn)式或者頂點(diǎn)式或者交點(diǎn)式，具體設(shè)哪一種形式比較簡便，要視三點(diǎn)的坐標(biāo)而定，本題用交點(diǎn)式比較簡便．