Question

如圖，在等腰直角三角板ABC中，斜邊BC為2個(gè)單位長(zhǎng)度，現(xiàn)把這塊三角板在平面直角坐標(biāo)系xOy中滑動(dòng)，并使B、C兩點(diǎn)始終分別位于y軸、x軸的正半軸上，直角頂點(diǎn)A與原點(diǎn)O位于BC兩側(cè)．

（1）取BC中點(diǎn)D，問(wèn)OD+DA的長(zhǎng)度是否發(fā)生改變，若會(huì)，說(shuō)明理由；若不會(huì)，求出OD+DA長(zhǎng)度；
（2）你認(rèn)為OA的長(zhǎng)度是否會(huì)發(fā)生變化？若變化，那么OA最長(zhǎng)是多少？OA最長(zhǎng)時(shí)四邊形OBAC是怎樣的四邊形？并說(shuō)明理由；
（3）填空：當(dāng)OA最長(zhǎng)時(shí)A的坐標(biāo)是（    ，    ），直線(xiàn)OA的解析式是              ．

Answer 1

(1)2；（2）2,正方形,理由見(jiàn)解析；（3）y=x．

試題分析：（1）根據(jù)直角三角形的斜邊上的中線(xiàn)等于斜邊的一半，即可得到OD=BC=2×=1，則不隨三角板的移動(dòng)而改變，因而OD+DA不會(huì)改變；
（2）根據(jù)兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短，即可得到當(dāng)O、D、A三點(diǎn)在一直線(xiàn)上時(shí)，OA最長(zhǎng)，即可求解；
（3）當(dāng)O、D、A三點(diǎn)在一直線(xiàn)上時(shí)，OA最長(zhǎng)，且此時(shí)OA是第一象限的角平分線(xiàn)，據(jù)此即可求解．
試題解析：
解：（1）OD=BC=2×=1，則OD+DA=2．
（2）∵OD=DA=1始終不變，
∴當(dāng)O、D、A三點(diǎn)在一直線(xiàn)上時(shí)，OA最長(zhǎng)等于2．
這時(shí)，四邊形OBAC的對(duì)角線(xiàn)相交于點(diǎn)D，有DO=DB=DA=DC=1，OA=BC=2，
∵四邊形OBAC是矩形，
又∵AB=AC，
∴四邊形OBAC是正方形．
（3）A（，）
直線(xiàn)OA是∠BOC的角平分線(xiàn)，則解析式是：y=x．