Question

如圖，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)D出發(fā)沿DA向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)A出發(fā)沿對(duì)角線AC向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)．過點(diǎn)P作PE∥DC，交AC于點(diǎn)E，動(dòng)點(diǎn)P、Q的運(yùn)動(dòng)速度是每秒1個(gè)單位長度，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x秒，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A時(shí)，P、Q兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)PE=y；
（1）求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；
（2）探究：當(dāng)x為何值時(shí)，四邊形PQBE為梯形？
（3）是否存在這樣的點(diǎn)P和點(diǎn)Q，使P、Q、E為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形？若存在，請(qǐng)求出所有滿足要求的x的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（1）由四邊形ABCD為矩形，得到∠D為直角，對(duì)邊相等，可得三角形ADC為直角三角形，由AD與DC的長，利用勾股定理求出AC的長，再由PE平行于CD，利用兩直線平行得到兩對(duì)同位角相等，可得出三角形APE與三角形ADC相似，由相似得比例，將各自的值代入，整理后得到y(tǒng)與x的關(guān)系式；
（2）若QB與PE平行，得到四邊形PQBE為矩形，不合題意，故QB與PE不平行，當(dāng)PQ與BE平行時(shí)，利用兩直線平行得到一對(duì)內(nèi)錯(cuò)角相等，可得出一對(duì)鄰補(bǔ)角相等，再由AD與BC平行，得到一對(duì)內(nèi)錯(cuò)角相等，可得出三角形APQ與三角形BEC相似，由相似得比例列出關(guān)于x的方程，求出方程的解即可得到四邊形PQBE為梯形時(shí)x的值；
（3）存在這樣的點(diǎn)P和點(diǎn)Q，使P、Q、E為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形，分兩種情況考慮：當(dāng)Q在AE上時(shí)，由AE-AQ表示出QE，再根據(jù)PQ=PE，PQ=EQ，PE=QE三種情況，分別列出關(guān)于x的方程，求出方程的解即可得到滿足題意x的值；當(dāng)Q在EC上時(shí)，由AQ-AE表示出QE，此時(shí)三角形為鈍角三角形，只能PE=QE列出關(guān)于x的方程，求出方程的解得到滿足題意x的值，綜上，得到所有滿足題意的x的值．

解答：解：（1）∵矩形ABCD，
∴∠D=90°，AB=DC=3，AD=BC=4，
∴在Rt△ACD中，利用勾股定理得：AC=

AD2+CD2

=5，
∵PE∥CD，
∴∠APE=∠ADC，∠AEP=∠ACD，
∴△APE∽△ADC，
又PD=x，AD=4，AP=AD-PD=4-x，AC=5，PE=y，DC=3，
∴

AP

AD

=

AE

AC

=

PE

DC

，即

4-x

4

=

AE

5

=

y

3

，
∴y=-

3

4

x+3；

（2）若QB∥PE，四邊形PQBE是矩形，非梯形，
故QB與PE不平行，
當(dāng)QP∥BE時(shí)，∠PQE=∠BEQ，
∴∠AQP=∠CEB，
∵AD∥BC，
∴∠PAQ=∠BCE，
∴△PAQ∽△BCE，
由（1）得：AE=-

5

4

x+5，PA=4-x，BC=4，AQ=x，
∴

PA

BC

=

AQ

CE

=

AQ

AC-AE

，即

4-x

4

=

x

5-(- 5 4 x+5)

=

4x

5x

，
整理得：5（4-x）=16，
解得：x=

4

5

，
∴當(dāng)x=

4

5

時(shí)，QP∥BE，而QB與PE不平行，此時(shí)四邊形PQBE是梯形；

（3）存在．分兩種情況：
當(dāng)Q在線段AE上時(shí)：QE=AE-AQ=-

5

4

x+5-x=5-

9

4

x，
（i）當(dāng)QE=PE時(shí)，5-

9

4

x=-

3

4

x+3，
解得：x=

4

3

；
（ii）當(dāng)QP=QE時(shí)，∠QPE=∠QEP，
∵∠APQ+∠QPE=90°，∠PAQ+∠QEP=90°，
∴∠APQ=∠PAQ，
∴AQ=QP=QE，
∴x=5-

9

4

x，
解得：x=

20

13

；
（iii）當(dāng)QP=PE時(shí)，過P作PF⊥QE于F，

可得：FE=

1

2

QE=

1

2

（5-

9

4

x）=

20-9x

8

，
∵PE∥DC，∴∠AEP=∠ACD，
∴cos∠AEP=cos∠ACD=

CD

AC

=

3

5

，
∵cos∠AEP=

FE

PE

=

20-9x 8

- 3 4 x+3

=

3

5

，
解得：x=

28

27

；
當(dāng)點(diǎn)Q在線段EC上時(shí)，△PQE只能是鈍角三角形，如圖所示：

∴PE=EQ=AQ-AE，AQ=x，AE=-

5

4

x+5，PE=-

3

4

x+3，
∴-

3

4

x+3=x-（-

5

4

x+5），
解得：x=

8

3

．
綜上，當(dāng)x=

4

3

或x=

20

13

或x=

28

27

或x=

8

3

時(shí)，△PQE為等腰三角形．

點(diǎn)評(píng)：此題屬于相似綜合題，涉及的知識(shí)有：矩形的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，梯形的判定，以及等腰三角形的性質(zhì)，利用了數(shù)形結(jié)合及分類討論的數(shù)學(xué)思想，分類討論時(shí)要做到不重不漏，考慮問題要全面．