Question

如圖，直徑AB、CD相互垂直，P為

BC

上任意一點，連PC、PA、PD、PB，下列結論：
①∠APC=∠DPE；
②∠AED=∠DFA；
③

CP+DP

BP+AP

=

AP

DP

其中正確的是（　　）

A．①③

B．只有①

C．只有②

D．①②③

Answer 1

分析：①利用垂徑定理，可得

AC

=

AD

，又由圓周角定理，即可證得∠APC=∠DPE；
②由于∠A不一定等于∠D，故∠AED=∠DFA錯誤；
③連AC，AD，BD，將△ACP繞A點順時針旋轉(zhuǎn)90°，使AC與AD重合（依AB⊥CD知AC=AD）點P旋轉(zhuǎn)到Q點，可證得△APQ是等腰直角三角形，CP+DP=

2

AP，同理可得BP+AP=

2

DP，繼而可證得結論．

解答：解：∵直徑AB、CD相互垂直，
∴

AC

=

AD

，
∴∠APC=∠DPE；
故①正確；
∵∠AED=∠DPE+∠D，∠DFA=∠APF+∠A，
∵P為

BC

上任意一點，
∴∠A不一定等于∠D，
∴∠AED不一定等于∠DFA；
故②錯誤；
連AC，AD，BD，將△ACP繞A點順時針旋轉(zhuǎn)90°，使AC與AD重合（依AB⊥CD知AC=AD）點P旋轉(zhuǎn)到Q點，
∴AQ=AP，CP=QD，
∵∠PAQ=90°，AQ=AP，
∵∠ADQ+∠ADP=∠ACP+∠ADP=180°，
∴P，D，Q三點共線，
∴∠Q=∠APD=45°，
∴PQ²=PA²+AQ²，
∴PQ=

2

AP，
即CP+DP=

2

AP，
同理：BP+AP=

2

DP，
∴

CP+DP

BP+AP

=

AP

DP

．
故③正確．
故選A．

點評：此題考查了圓周角定理、垂徑定理、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及勾股定理．此題難度較大，注意掌握輔助線的作法，注意數(shù)形結合思想的應用．