Question

（2004•寧波）已知AB是半圓O的直徑，AB=16，P點(diǎn)是AB上的一動(dòng)點(diǎn)（不與A、B重合），PQ⊥AB，垂足為P，交半圓O于Q；PB是半圓O₁的直徑，⊙O₂與半圓O、半圓O₁及PQ都相切，切點(diǎn)分別為M、N、C．
（1）當(dāng)P點(diǎn)與O點(diǎn)重合時(shí)（如圖1），求⊙O₂的半徑r；
（2）當(dāng)P點(diǎn)在AB上移動(dòng)時(shí)（如圖2），設(shè)PQ=x，⊙O₂的半徑r．求r與x的函數(shù)關(guān)系式，并求出r取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）、由勾股定理得OO₂²-OD²=O₂D²=O₁O₂²-O₁D²，可求得r的值；
（2）、連接O₁O₂、OO₂，作O₂D⊥AB于D，由射影定理和勾股定理可求得r與x的函數(shù)關(guān)系式．
解答：解：（1）連接OO₂、O₁O₂、O₂C，作O₂D⊥AB于D．（1分）
∵⊙O₂與⊙O、⊙O₁、PQ相切，
∴OO₂=8-r，（2分）
O₁O₂=4+r．（3分）
∵四邊形ODO₂C是矩形，
∴OD=r，O₁D=4-r（4分）
根據(jù)勾股定理得：OO₂²-OD²=O₂D²=O₁O₂²-O₁D²，
即：（8-r）²-r²=（r+4）²-（4-r）²，（5分）
∴r=2；（6分）

（2）∵AB是⊙O直徑，PQ⊥AB
∴PQ²=AP•PB
設(shè)⊙O₁半徑是a，
則x²=2a（16-2a）=4（8a-a²）．
連接O₁O₂、OO₂，作O₂D⊥AB于D
∴O₁O₂=a+r，OO₂=8-r，O₁D=O₁P-PD=a-r，OD=PB-PD-OB=2a-r-8，（8分）
根據(jù)勾股定理得；O₁O₂²-O₁D²=OO₂²-OD²，
即：（a+r）²-（a-r）²=（8-r）²-（2a-r-8）²，（9分）
化簡得：8r=7a．
∴x²=32r，即（10分）
∵0≤x≤8，
∴0＜r≤2．（12分）
說明：其它解法相應(yīng)給分
點(diǎn)評：圓與圓相切，一般通過構(gòu)造直角三角形，矩形，利用勾股定理和矩形的性質(zhì)，圓心距與圓的半徑求解．