Question

【題目】如圖，在矩形ABCD中，E是AD上一點，PQ垂直平分BE，分別交AD、BE、BC于點P、O、Q，連接BP、EQ．

（1）求證：四邊形BPEQ是菱形；

（2）若AB=6，F(xiàn)為AB的中點，OF+OB=9，求PQ的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）PQ的長是．

【解析】試題分析：⑴先根據(jù)線段垂直平分線的性質證明QB=QE，由ASA證明△BOQ≌△EOP，得出PE=QB，證出四邊形ABGE是平行四邊形，再根據(jù)菱形的判定即可得出結論.

⑵根據(jù)三角形中位線的性質可得 ，設 ，則

，在Rt△ABE中，根據(jù)勾股定理可得 ，解得BE=10，

得到 ，設 ，則 ， ，計算得出 ，在Rt△BOP中，根據(jù)勾股定理可得 ，由 即可求解.

試題解析：

（1）證明：∵ PQ垂直平分BE，

∴ QB=QE，OB=OE，

∵ 四邊形ABCD是矩形，

∴ AD∥BC，

∴ ∠ PEO=∠ QBO，

在△ BOQ與△ EOP中，

，

∴ △ BOQ≌ △ EOP（ASA），

∴ PE=QB，

又∵ AD∥BC，

∴ 四邊形BPEQ是平行四邊形，

又∵ QB=QE，

∴ 四邊形BPEQ是菱形；

（2）解：∵ O，F分別為PQ，AB的中點，

∴ AE+BE=2OF+2OB=18，

設AE=x，則BE=18﹣x，

在Rt△ ABE中，62+x2=（18﹣x）2，

解得x=8，

BE=18﹣x=10，

∴ OB=BE=5，

設PE=y，則AP=8﹣y，BP=PE=y，

在Rt△ ABP中，62+（8﹣y）2=y2，解得y=，

在Rt△ BOP中，PO==，

∴ PQ=2PO=．