Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線y=x2+x﹣2與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，直線l經(jīng)過(guò)A，C兩點(diǎn)，連接BC．

（1）求直線l的解析式；

（2）若直線x=m（m＜0）與該拋物線在第三象限內(nèi)交于點(diǎn)E，與直線l交于點(diǎn)D，連接OD．當(dāng)OD⊥AC時(shí)，求線段DE的長(zhǎng)；

（3）取點(diǎn)G（0，﹣1），連接AG，在第一象限內(nèi)的拋物線上，是否存在點(diǎn)P，使∠BAP=∠BCO﹣∠BAG？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=；（2）DE=；（3）存在點(diǎn)P（，），使∠BAP=∠BCO﹣∠BAG，理由見解析.

【解析】

（1）根據(jù)題目中的函數(shù)解析式可以求得點(diǎn)A和點(diǎn)C的坐標(biāo)，從而可以求得直線l的函數(shù)解析式；

（2）根據(jù)題意作出合適的輔助線，利用三角形相似和勾股定理可以解答本題；

（3）根據(jù)題意畫出相應(yīng)的圖形，然后根據(jù)銳角三角函數(shù)可以求得∠OAC=∠OCB，然后根據(jù)題目中的條件和圖形，利用銳角三角函數(shù)和勾股定理即可解答本題．

（1）∵拋物線y=x2+x-2，

∴當(dāng)y=0時(shí)，得x1=1，x2=-4，當(dāng)x=0時(shí)，y=-2，

∵拋物線y=x2+x-2與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，

∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-4，0），點(diǎn)B（1，0），點(diǎn)C（0，-2），

∵直線l經(jīng)過(guò)A，C兩點(diǎn)，設(shè)直線l的函數(shù)解析式為y=kx+b，

，得，

即直線l的函數(shù)解析式為y=x2；

（2）直線ED與x軸交于點(diǎn)F，如圖1所示，

由（1）可得，

AO=4，OC=2，∠AOC=90°，

∴AC=2，

∴OD=，

∵OD⊥AC，OA⊥OC，∠OAD=∠CAO，

∴△AOD∽△ACO，

∴，

即，得AD=，

∵EF⊥x軸，∠ADC=90°，

∴EF∥OC，

∴△ADF∽△ACO，

∴，

解得，AF=，DF=，

∴OF=4-=，

∴m=-，

當(dāng)m=-時(shí)，y=×（）2+×（-）-2=-，

∴EF=，

∴DE=EF-FD=＝；

（3）存在點(diǎn)P，使∠BAP=∠BCO-∠BAG，

理由：作GM⊥AC于點(diǎn)M，作PN⊥x軸于點(diǎn)N，如圖2所示，

∵點(diǎn)A（-4，0），點(diǎn)B（1，0），點(diǎn)C（0，-2），

∴OA=4，OB=1，OC=2，

∴tan∠OAC=，tan∠OCB=，AC=2，

∴∠OAC=∠OCB，

∵∠BAP=∠BCO-∠BAG，∠GAM=∠OAC-∠BAG，

∴∠BAP=∠GAM，

∵點(diǎn)G（0，-1），AC=2，OA=4，

∴OG=1，GC=1，

∴AG=，，即，

解得，GM=，

∴AM==，

∴tan∠GAM=，

∴tan∠PAN=，

設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（n，n2+n-2），

∴AN=4+n，PN=n2+n-2，

∴，

解得，n1=，n2=-4（舍去），

當(dāng)n=時(shí)，n2+n-2=，

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，），

即存在點(diǎn)P（，），使∠BAP=∠BCO-∠BAG．