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        1. 精英家教網 > 初中數學 > 題目詳情

          【題目】如圖,拋物線y=ax2-(2a+1)x+b的圖象經過(2,-1)和(-2,7)且與直線y=kx-2k-3相交于點P(m,2m-7)

          (1) 求拋物線的解析式

          (2) 求直線y=kx-2k-3與拋物線y=ax2-(2a+1)x+b的對稱軸的交點Q的坐標

          (3) 在y軸上是否存在點T,使△PQT的一邊中線等于該邊的一半?若存在,求出點T的坐標;若不存在,請說明理由

          【答案】見解析

          【解析】分析:(1)根據拋物線y=ax2﹣(2a+1)x+b的圖象經過(2,﹣1)和(﹣2,7),求得a,b的值即可得到拋物線的解析式;

          (2)先根據拋物線的圖象經過點P(m,2m﹣7),求得點P的坐標,再根據直線y=kx﹣2k﹣3經過點P,求得k的值,最后根據拋物線的對稱軸為直線x=2,求得點Q的坐標;

          (3)設點T的坐標為(0,t),M為PQ的中點,連結TM,分三種情況討論:∠PTQ=90°時,∠PQT=90°時,∠QPT=90°時,分別根據勾股定理列出關于t的方程進行求解即可.

          詳解:(1)∵拋物線y=ax2﹣(2a+1)x+b的圖象經過(2,﹣1)和(﹣2,7),

          ,

          解得,

          ∴拋物線的解析式為y=x2﹣2x+1;

          (2) ∵拋物線的圖象經過點P(m,2m-7)

          ∴2m-7=m2-2m+1,解得m1=m2=4

          ∴P(4,1)

          ∵直線y=kx-2k-3經過點P

          ∴4k-2k-3=1,k=2

          ∴直線PQ的解析式為y=2x-7

          ∴拋物線的對稱軸為直線x=2

          當x=2時,y=2×2-7=-3

          ∴Q(2,-3)

          (3) 若△PQT的一邊中線等于該邊的一半

          則△PQT為直角三角形

          設T(0,t)

          過點P作PA⊥y軸于A,交直線x=2于點C,過點Q作QB⊥y軸于B

          則AT=|1-t|,BT=|-3-t|

          ∵PA=4,QB=2,PC=2,CQ=4

          ∴PQ=

          ① 當∠PTQ=90°時

          ∵PQ2=TQ2+TP2=BT2+QB2+PA2+AT2=(-3-t)2+22+(1-t)2+42=20

          ∴2t2+4t+10=0,方程無解

          ② 當∠PQT=90°時,PQ2+QT2=PT2

          ∴20+22+(-3-t)2=42+(1-t)2,解得t=-2

          ③ 當∠QPT=90°時,TQ=PT+PQ

          ∴4+(-3-t)2=16+(1-t)2+20,解得t=3.

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