Question

24、如圖，拋物線y=ax²+bx+c頂點(diǎn)為P（1，-1），與x軸交于O、A兩點(diǎn)，其中O為原點(diǎn)，點(diǎn)C是對(duì)稱(chēng)軸與x軸的交點(diǎn)．
（1）求拋物線的解析式和點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（2）試在拋物線上找點(diǎn)D，在對(duì)稱(chēng)軸上找點(diǎn)Q，使得以P、D、Q為頂點(diǎn)的三角形與△OPC相似．請(qǐng)求出所有可能的點(diǎn)D和點(diǎn)Q的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)頂點(diǎn)坐標(biāo)求出y=a（x-1）²-1進(jìn)而二次函數(shù)解析式即可；
（2）首先得出△OPC為等腰直角三角形，要使以P、D、Q為頂點(diǎn)的三角形與△OPC相似，則△PDQ也一定為等腰直角三角形，進(jìn)而得出D點(diǎn)的坐標(biāo)，再分別求出即可．

解答：解：（1）∵拋物線y=ax²+bx+c的頂點(diǎn)為P（1，-1），
∴y=a（x-1）²-1
又拋物線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O，
∴0=a（0-1）²-1，
∴a=1，（3分）
∴拋物線的解析式為y=（x-1）²-1，
即：y=x²-2x，（4分）
對(duì)稱(chēng)軸為：直線x=1，
∴C點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0）（5分）；

（2）由（1）知，OC=1，PC=1，∠OCP=90°，
∴△OPC為等腰直角三角形．（6分）
要使以P、D、Q為頂點(diǎn)的三角形與△OPC相似，則△PDQ也一定為等腰直角三角形．
顯然，∠DPQ不可能是90°，所以∠DPQ=45°（7分），
∴點(diǎn)P在直線PO或直線PB上．
∴點(diǎn)D只能是（0，0），或（2，0）（9分），
當(dāng)D為（0，0）時(shí)，若∠DQP=90°，則點(diǎn)Q與點(diǎn)C重合，
從而△PDQ與△OPC重合，不合，舍去；
若∠PDQ=90°，則點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（1，1）（10分）
當(dāng)D為（2，0）時(shí)，若∠DQP=90°，則點(diǎn)Q與點(diǎn)C重合，即點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（1，0）；
若∠PDQ=90°，則點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（1，1）（11分）
所以，符合題意的點(diǎn)D和點(diǎn)Q為：D（0，0）、Q（1，1）；D（2，0）、Q（1，0）．（12分）

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了頂點(diǎn)式求二次函數(shù)解析式以及相似三角形的性質(zhì)，在二次函數(shù)中相似三角形的應(yīng)用是考查重點(diǎn)，同學(xué)們應(yīng)重點(diǎn)掌握．