Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB=10，BC=12，BC邊上的中線AD=8．
（1）證明：△ABC為等腰三角形；
（2）點H在線段AC上，試求AH+BH+CH的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵AD是BC邊上的中線，

∴BD=DC=6．

在△ABD中，BD2+AD2=62+82=102=AB2，

∴△ABD為直角三角形．

∴∠ADB=90°．

∴AD⊥BC．

∵AD⊥BC，BD=DC，

∴AB=AC．

∴△ABC為等腰三角形．

（2）解：∵AH+BH+CH=AC+BH=10+BH，

∴當BH最小時，AH+BH+CH有最小值．

由垂線段的性質可知當BH⊥AC時，BH有最小值．

∴ BHAC= BCAD，即 ×10BH= ×12×8，

解得：BH=9.6．

∴AH+BH+CH的最小值=10+9.6=19.6．

【解析】（1）由三角形的中線的定義可知BD=DC=6，然后依據勾股定理的逆定理可證明△ABD為直角三角形，故此AD⊥BC，則AD為BC的垂直平分線，依據線段垂直平分線的性質可知AB=AC；（2）由題意可得到CH+AC=AC=10，故此當BH最小時，AH+BH+CH有最小值，依據垂線段的性質可知當BH⊥AC時，BH有最小值，在△ABC中，依據面積法可求得BH的最小值．